bp_ELSOOLDAL5.doc

Veľkosť: px
Začať zobrazovať zo stránky:

Download "bp_ELSOOLDAL5.doc"

Prepis

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV POČÍTAČOVÝCH SYSTÉMŮ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SYSTEMS EXPLICITNÍ A IMPLICITNÍ METODY PRO NUMERICKÉ ŘEŠENÍ ODR BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR ATTILA CSOLTKÓ BRNO 00

2 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV POČÍTAČOVÝCH SYSTÉMŮ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SYSTEMS EXPLICITNÍ A IMPLICITNÍ METODY PRO NUMERICKÉ ŘEŠENÍ ODR EXPLICIT AND IMPLICIT METHODS FOR NUMERICAL SOLUTION OF ODE BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR ATTILA CSOLTKÓ Ig. PAVLA SEHNALOVÁ BRNO 00

3 Abstrakt Tato prác aalyzuj a primtuj s mtodami umrického řší obyčjých difrciálích rovic (ODR). Přdstavuj a srovává jdotlivé mtody. Poukazuj a problmatiku plicitích mtod. Přdvším j zaměřa a výpočt pomocí implicití mtody Taylorovy řady a určí jj vhodého použití a důkazu stability i při tuhých systémch s ukázkovými příklady. Abstract This work is dalig with th aalysis of mthods for solvig ordiary diffrtial quatios (ODE) umrically. I this documt I prst ad compar particular mthods i focus with th possibl wak poits of th plicit solutios. Th major part of my work dals with th problm wh is appropriat to us th implicit Taylor mthod ad prov that this mthod ca bcom stabl i a stiff systm. Klíčová slova Obyčjé difrciálí rovic (ODR), umrické řší, Taylor, Eulr, RK4, Stiff systém, stabilita, plicití, implicití mtoda Kywords Ordiary diffrtial quatio (ODE), umrical solutio, Taylor, Eulr, RK4, Stiff systms, stability, plicit, implicit mthod Citac Csoltkó Attila: Eplicité a implicité mtódy pr umrické riši ODR, bakalářská prác, Bro, FIT VUT v Brě, 00

4 Eplicité a implicité mtódy pr umrické riši ODR Prohláší Prohlašuji, ž jsm tuto bakalářskou práci vypracoval samostatě pod vdím Ig. Pavly Shalové. Další iformac mi poskytl Ig. Šátk Václav. Uvdl jsm všchy litrárí pramy a publikac, z ktrých jsm črpal. Attila Csoltkó Poděkováí Tímto bych chtěl poděkovat svému vdoucímu Ig. Pavl Shalové za poskytutou pomoc, strpí a motivaci, za užitčé iformac a rady pau Ig. Václavovi Šátkovi, bz ktrých by tato prác mohla vzikout. Attila Csoltkó, 00 Tato prác vzikla jako školí dílo a Vysokém učí tchickém v Brě, Fakultě iformačích tchologií. Prác j chráěa autorským zákom a jjí užití bz udělí oprávěí autorm j zákoé, s výjimkou zákom dfiovaých případů.. 4

5 Obsah Obsah... Úvod... Difrciál rovic...3. Obyčajé difrciál rovic...4. Sparácia prmých Difrciála rovica homogého tvaru Difrciál rovic homogého tvaru, ktoré sa dajú prvisť a homogéy tvar Nhomogéa difrciála rovica Rády difrciálych rovíc Riši difrciálych rovíc vyššiho rádu Numrické mtódy pr riši ODR Počiatočé úlohy Lokála a globála chyba Rád mtódy Viackrokové mtódy Eplicité a implicité mtódy Prdbžá úvaha o istcii rišia Eulrova mtóda Výpočt s Eulrovou mtódou Chyba a rád Eulrovj mtódy (opt. h) Implicitá Eulrova mtóda Taylorova vta Modifikáci Eulrovj mtódy Mtódy typu Rug-Kutta Lichobžíková mtóda Odhad chyby. Riadi dĺžky kroku Riši ODR a porovai mtód Dôlžitosť kroku Rozdily mdzi mtódami Stiff systémy A-stabilita Aalýza Taylorovj mtódy Prsosť Porovai implicitých mtód Návrh aplikáci Implmtácia Príklad a použiti Závr...47

6 Úvod Hlavým prdmtom tjto prác sú umrické mtódy pr riši obyčajých difrciálych rovíc, al prdovštkým sa musím zozámiť samými difrciálymi rovicami aby sm ich mohli v ďalších častiach rišiť. Poukážm a rozdily mdzi typmi, zobrazím a prvdim si ich do viacrých tvarov. Ukážm si ako môžm pomocou rovíc prvého rádu rišiť difrciál rovic vyšších rádov. Kď sm si už tito vdomosti osvojili môžm sa zaobrať ich riším, prdovštkým ich umrickým riším, al samozrjm kvôli porovaiu a možosti určovaia chýb ich budm musiť aj aalyticky rišiť. Uvdomím si, ž umrické rišia sú l približé rišia a tak u ich trba počítať odchýlkami. Budm si musiť vybrať počiatočé úlohy a to vhodé rovic aby sa tito odchýlky v rišiach objavili a kryštalizovali. Kď si už budm vdiť vypočítať chyby rôzych typov umrických rovíc budm vdiť im určiť aj rád. Čím viac ich pozám tým ám bud jasjši, ž sú také, ktoré sú založé a mtódach ižších rádov. Jdou ajdôlžitjšou častou tjto prác bud to, ž sa pokúsim dokázať, ž plicité mtódy a prvý pohľad sa kvôli jdoduchému rišiu síc môžu zdať sympatické, al bohužiaľ ich môžm použiť u každého príkladu. Pokúsim sa ájsť takéto príklady, dfiovať ich a pozriť sa či sa implicité mtódy chovajú tiž pri ich riší. Ukážm si aplikáciu, s ktorou si tito výpočty pokúsim uľahčiť, a aj to pri jj implmtácií sm aké problémy musli rišiť, a ako v j grujm vzorc pr viacčlé mtódy. Naučím sa aalyzovať jj výsldky. Zázorím si potrbé grafy aby sm mohli dfiovať výrazy ako A- stabilita a tuhý systém. Dôlžitou časťou bud primtácia s dĺžkami krokov pri riší a odvodi, akým spôsobom ovplyvím týmto približé rišia. V závrčj časti si z aalyzujm Taylorovu implicitú mtódu. Najprv ju porovám zo sbou, l s viacrými člmi aby sm ho potom mohli porovať ostatými implicitými mtódami. Odvodím si jj charaktristiky a určim možosti použitia.

7 Difrciál rovic V aalýz, v gomtrii, v aalytickj mchaik mohé úlohy vdú k problému, ž trba určiť fukciu jdj albo viac prmých, kď j daý súvis mdzi fukciou, jj sukcsívymi driváciami a závislými prmými. Takýto súvis sa muj difrciálou rovicou. Schlsigr L. [3] Algbraické rovic zazamávajú súvisy mdzi zámymi a zámymi číslami, v ktorých súvisoch vlastosti čísil sa mia, zostaú vždy rovaké. V prírod sa však ajčastjši ukazuj zma, prto sa dá viac použiť tá časť matmatiky, ktorá bri do ohľadu zmu vličí. Difrciálymi rovicami modlujm mohé zákoy rôzych vdckých disciplí, počúc tchickými, koomickými, prírodovdými až po spoločské. Sú to súvisy mdzi prmou, rsp. prmými, fukciou y a driváciou dy, rsp. driváciami. V prípad jdj prmj sú to d rovic tvaru: dy F( y,, ) = 0 d dy Kd = y ' j už driváciou fukci. Tto súvis môž obsahovať aj vyšši driváci. Pri jdj d závislj prmj ozačujm: F yy y y = ( ) (,, ', '',..., ) 0 Formula obsahuj: prmé (jdu albo viac), fukci, koštaty a aj driváci fukcií. Podľa počtu závislých prmých a stupňa driváci rozlišujm rôz typy difrciálych rovíc, ktorými sa zozámim v asldujúcich kapitolách. Pri tjto kapitol som použil iformáci k tórií z litratúry [], [3]. 3

8 . Obyčajé difrciál rovic Obyčajé difrciál rovic sú častou základého rozdli difrciálych rovíc podľa typu obsiahutých drivácii. Ozačujm ich skratkou ODR albo ODE. Sú to rovic obsahujúc driváci l podľa jdj prmj. Ti, ktoré obsahujú driváci podľa viacrých prmých azývam parciál difrciál rovic. (skratka PDR albo PDE). Rozlišujm št stochastické difrciál rovic (skratka SDR albo SDE) - rovic zahŕňajúc ajmj jd stochastický procs a difrciál algbraické rovic (skratka DAE) - difrciál rovic, v ktorých sa achádzajú aj čisto algbraické vdľajši podmiky. Prsjši, obyčajá difrciála rovica -tého rádu j rovica tvaru () F (, y, y',..., y ) = 0 kd y j záma fukcia. V prípad, ž sm schopý vyjadriť uvdý vzorc vo tvaru () ( ) y = f(, y, y',..., y ) tak hovorím, ž rovica j rozrišá vzhľadom k ajvyššj drivácii.. Sparácia prmých Podľa [3] v prípad kď mám fukciu y = f(), kd j prmá a y fukcia, vtdy z tóri fukcií j zám, ž za určitých prdpokladov práv tak môžm vziať y za prmú a za fukciu = ϕ(y) Vzájomý vzťah vličí a y j vyjadrý matmatickým výrazom y matmatickým výrazom = f() ako aj = ϕ(y). Tto určitý súvis vličí a y umoží itgrovať tak podľa, ako aj podľa y a tto vzájomý vzťah sa po itgrácií zmí. Túto vlastosť fukcií môžm použiť a to, ž v iktorých prípadoch sa dajú výrazy difrciálych rovíc zoskupiť tak, ž v jd skupi sú čly, ktoré obsahujú fukciu vličí y a dy a druhj zas čly, ktoré obsahujú fukciu vličí a d. Kď sa toto podarí hovorím, ž sm prmé v difrciálj rovici sparovali vtdy skupiu, obsahujúcu l prmú, itgrujm podľa a skupiu, obsahujúcu zas l y, itgrujm podľa y. Jda z týchto prmých j vlast fukciou, lbo pr ob platí súvis, vyjadrý difrciálou rovicou. Obyčajá difrciála rovica prvého rádu y' = f(,y) pokiaľ j sparovatľá získa tvar Rovica po oddlí prmých získava tvar dy ghy ( ) ( ) d = dy gd ( ) hy ( ) = 4

9 .3 Difrciála rovica homogého tvaru Homogéa fukcia -tého stupňa prmých a y má takýto tvar: f( y, ) = a + a y+ a y a y + ay = 0 y y y y y = a0 + a + a a + a = f Difrciál rovic homogého tvaru majú tvar asldujúci: d y + f = 0 dy albo M( yd, ) + N( ydy, ) = 0 y Kd f j racioála fukcia clistvá -tého stupňa a (, ) M y, N ( y, ) sú homogé fukci -tého stupňa prmých a y..4 Difrciál rovic homogého tvaru, ktoré sa dajú prvisť a homogéy tvar Rovic takéhoto typu majú tvar: kd j: Položm: d a+ by+ c = dy a+ by+ c a b 0 a b = z+ h, y = v+ k kd h a k sú koštaty, ktoré majú vyhovovať liárym roviciam ah+ bk+ c= 0 ah+ bk + c = 0 a vtdy difrciála rovica prjd do difrciálj rovic homogého tvaru dv az+ bv =. dz az+ bv 5

10 .5 Nhomogéa difrciála rovica Nhomogé difrciál rovic prvého radu, čili liár difrciál rovic s pravou straou albo taktiž úplé liár difrciál rovic majú tvar asldový: dy Ay ( ) B ( ) d + =. kd A, ( ) B ( ) sú spojité fukci a B ( ) 0 Liárou difrciálou rovicou (LDR) prvého rádu s pravou straou azývam taktiž ODR tvaru y' = p() y+ q ( ) kd p, q sú fukci prmj dfiovaé a itrval I a q() j rôz od uly pr každé I. Ak sú fukci p() a q() spojité a itrval (a,b), potom fukcia p d y = q ( ) d+ c ( ) p( d ) kd c j ľubovoľá koštata, j riším difrciálj rovic a itrval (a,b). Každým bodom možiy ( ab, ) (, ) prchádza jdiá krivka rovic y' = p() y+ q ( ), ktorú dostam vhodou voľbou koštaty c. Túto fukciu azývam všobcým riším difrciálj rovic. Riším (itgrálom) sústavy difrciálych rovíc j možia fukcií s driváciami potrbého rádu, ktoré vyhovujú vštkým roviciam daé sústavy. Okrm všobcého rišia pozám št partikulár (čiastočé), ktoré získam prirazím určité číslé hodoty každj itgračj koštat obcého rišia, albo sigulár (výimočý) ti rišia, ktoré sa dajú získať z obcého rišia, ktoré sa vyskytujú l u iktorých rovíc a bodoch oboru. Partikulár riši môžm v prípad jdoduchých difrciálych rovíc vypočítať aalyticky. Pričom vo vľkom možstv prípadov j aalytické riši príliš obťiaž a difrciál rovic sa rišia umricky. V tjto časti bola použitá litratúra []..6 Rády difrciálych rovíc Podľa ajväčšj výšky radu drivácii s ulovým koficitom rozpozávam difrciál rovic prvého, druhého,..., -tého rádu. Napríklad: y'' = my j obyčajá difrciála rovica druhého rádu, kým j parciála rovica druhého rádu. z z + z = 0 y y 3 Ak difrciála rovica obsahuj driváci l prvého stupňa, tak ju azývam liárou. Kd ajvyšší stupň fukci albo jj drivácii v j vystupujúcich j, vtdy ju azývam difrciálou rovicou -tého stupňa.[3] 6

11 .6. Riši difrciálych rovíc vyššiho rádu Podľa pozatkov s [] obyčajú difrciálu rovicu -tého rádu s začiatočými podmikami () ( ) y = f(, y, y',..., y ), y( ) = y, y'( ) = y',..., y ( ) = y ( ) ( ) môžm prvisť a sústavu difrciálych rovíc prvého rádu, a to asldujúcim spôsobom: Ozačím y = y, y = y',..., y = y ( ) Podľa zadaé difrciálj rovic má platiť y'. Potom zrjm platí, ž = y, y' = y3 () ( ) y = f(, y, y',..., y ), atd. kď to y' prvdim a aš ozači získam vzorc = f(, y, y,..., y ). Takýmto spôsobom sm získali sústavu difrciálych rovíc prvého rádu: y' y' = y = y 3... y' = f(, y, y,..., y ) y( ) = y 0 0 y( ) = y' 0 0 y( ) = y ( ) ktorú môžm rišiť akoukoľvk mtódou pr riši sústav difrciálych rovi. Riším pôvodj rovic -tého rádu j potom prvá zložka riší sústavy. Príklad: Difrciálu rovicu druhého rádu s počiatočými podmikami y'' = y y' y( 0 ) =, y'0 ( ) = prvdim a sústavu dvoch rovíc prvého rádu. Ozačím z = y'. Sutaa rovíc prvého rádu potom bud vypadať asldov: ( ) ( ) y' = z y0 = z' = y z z 0 = 7

12 3 Numrické mtódy pr riši ODR Difrciál rovic sú jdým z ajčastjších matmatických prostridkov, ktoré používam k popisu ajrozmaitjších procsov z oblasti fyziky, biológi, koómi a rady ďalších oborov. V prdošlých kapitolách sm sa zozámili s iktorými typy rovíc, ktorých riši sa dá ájsť aalyticky. V praktických problémoch sa však vyskytujú aj zložitjši rovic a iktoré z ich sú aalyticky rišitľé l obťiaž a iktoré aalyticky vyrišiť jd. Sm prto útí vľmi často využívať pr riši difrciálych rovíc približé mtódy, V tjto kapitol sa budm vovať tým približým mtódam, ktoré radím mdzi umrické približé mtódy. Pomocou týchto mtód hľadám umrické riši l a zvolj moži bodov v daom itrvalu. Itrpoláciou z týchto hodôt potom môžm ájsť približé hodoty riší takisto pr ostaté body zo zvolého itrvalu. Spoločým zakom vštkých týchto mtód j, ž riši hľadám ako spojitú fukciu, dfiovaú a clom skúmaom itrvalu ab,, al hodoty približého rišia počítam l v kočom počtu bodov a = 0 < < < = b. Týmto bodom hovorím uzlové body albo uzly,,..., hovorím siť. Rozdil h i = i+ isa azýva krok sit v sit a moži { } 0 uzlu i. Približé hodoty riší v uzlových bodoch, vypočítaé jakou umrickou mtódou, budm začiť y, 0 y,..., y, a rozdil od hodôt prsého rišia, ktoré budm začiť y( 0), y( ),..., y( ). Pri tjto kapitol som použil zdroj [], [], [4]. Príklad: Obrázok : Prsé (plá čiara) a približé riší difrciálj rovic (krúžky) [] Krok h mdzi jdotlivými uzlami bol koštatí bola použitá pravidlá siť. 8

13 3. Počiatočé úlohy Obyčajé difrciál rovic prvého rádu zo zadaou počiatočou podmikou: y' = f( y, ), y ( ) = y 0 0 Základom, z ktorého vychádza väčšia umrických mtód rišia začiatočých úloh j diskrtizácia prmých. Zamá to, ž približé riši sa koštruuj ako spojitá fukcia, al postup sa pr možiu avzájom rôzych bodov 0, (bod, v ktorom j daá začiatočá podmika),,,... hľadajú čísla y 0 (hodota začiatočj podmiky), y, y,..., ktoré aproimujú hodoty y( 0 ), y( ),... prsého rišia v bodoch sit 0,,.... Body sit (uzly) musia byť kvidistaté to jst vzdialosť mdzi imi, tzv. krok mtódy h i = i + i môž závisiť a i. Pritom aproimácia y prsého rišia y( ) v bod sa počíta z hodôt približého rišia v už vypočítaých uzloch. Týmto mtódam hovorím mtódy diskrétj prmj albo difrčé mtódy. Mtóda, ktorá k tomuto rišiu používa rkurtý vzťah, v ktorom j y + vyjadrá pomocou k hodôt y,y -,,y +-k sa azýva k-kroková mtóda. Ak j k=, hovorím o jdokrokovj mtód. [] 3. Lokála a globála chyba Ako sm už zmiili v prdošlých častiach u umrický mtódach sa jdá o približé mtódy. To zamá, ž dosiahuté výsldky budú stoprct prsé. U každj mtód budm musiť počítať s jakou chybou, a v ašj práci bud zohrávať vľmi dôlžitú rolu, lbo ám bud určovať prsosť mtódy a umoží ám ich porovávať. V tjto časti sa zozámim s typy jdotlivých chýb. Obrázok : Na obrázku môžm vidiť príklad Eulrovj mtódy (podrobjši sa zozámim v ďalších častiach) ako sa odchyľuj od prsého rišia a ako sa chyba zvyšuj každým krokom. Šdé šípky ukazujú smrové pol.[] 9

14 Jak sm sa v prdošlj časti dozvdli, pri umrických riší počiatočých úloh môžm vypočítať približou hodotu riší v ďalšom uzlovom bod pomocou hodoty rišia v uzlovom bod prdchádzajúcom. Takýmto mtódam hovorím mtódy jdokrokové. U iktorých iých mtódach postupujm dômysljši a využívam iformáci z ikoľkých prdošlých krokov. Tito mtódy azývam mtódy viackrokové. J vclku jasé, ž akoľko sa priblížim k prsému rišiu, závisí a diaľk kroku h, ktorý použijm. Základú vlastosť, ktorou od použitľé umrické mtódy požadujm, j, aby umrické riši získaé touto mtódou pr h 0 kovrgovalo k prsému rišiu daé úlohy. Povdzm, ž mtóda j kovrgtí, kď pr ľubovoľú počiatočú úlohu platí pr každé ab,, ž lim y= y ( ),kd = 0 + h h 0 U každj mtódy j dôlžitá otázka, jak sa približé riši získaé touto mtódou líši od rišia prsého albo ako vypadá globála diskrtizačá chyba. i = y( i) - y i Pr získai prdstavy o globálj diskrtizačj chyb sa musím ajprv zozámi s takzvaou lokálou diskrtizačou chybou daé mtódy. J to chyba, ktorj sa dopustím v jdom kroku daé mtódy za prdpokladu, ž vštky hodoty, ktoré sm pri výpočtu použili, boli prsé. Lokálu diskrtizačú chybu v i-tom uzlu budm začiť di. Na obrázku 3 vidím globálu diskrtizačú chybu i a lokálu diskrtizačú chybu d i u približého rišia získaého Eulrovou mtódou. [] Lokála chyba Eulrovj (aj hocijakj ij jdokrokovj) mtódy v uzlu i j rozdil približého rišia a rišia, ktoré splňuj počiatočú podmiku y( i-) = y i- Pri umrických riší difrciálych rovíc sa dopúšťam lokálj diskrtizačj chyby v každom kroku. Globála diskrtizačá chyba j vtdy výsldkom azhromaždia lokálych chýb, pričom trba brať do úvahy, ž každý krok vychádza z hodôt, ktoré už sú zaťažý chybou z prdošlého pribhu. J žiaduc, aby u daj mtódy dochádzalo ku katastrofálj akumulácii lokálych diskrtizačých chýb. Tória z []. 0

15 3.. Rád mtódy Pr popis rýchlosti kovrgci mtódy používam pojm rád mtódy. Zhruba povdaé j rád mtódy prirodzé číslo p také, ž pr malé h j lokála diskrtizačá chyba di rádovo vľkosti h p+. U jdokrokových mtód p-tého rádu sa dá dokázať, ž globála diskrtizačá chyba j rádovo vľkosti h p. Eulrova mtóda j rádu prvého, čo v ďalších častiach budm dokazovať. [] 3.3 Viackrokové mtódy Prdošlých častiach sm hovorili o jdokrokových mtódach, kd pri výpočt postupujm pomocou hodoty rišia prdošlého uzlového bodu. U viackrokových mtódach j hodota y + vypočítaá z prdošlých hodôt y i. Rspktív f i, i = 0...k, prtož pritom používam il hodoty približého rišia, al taktiž hodoty pravj stray f(, y) v týchto bodoch, budm používať ozači fj = f(j, yj). Obc vypadá liára k-kroková mtóda takto: y = ay + ay ay + hbf ( + bf bf ) albo + k k+ 0 + k + k r y = α y + h β f + i i j j i= 0 j= kd k j prirodzé číslo a aspoň jda z koštát a k, b k j rôza od uly. Zrjmou výhodou k-krokovj mtódy j, ž riši v prvých k uzlových bodoch 0,..., k musím získať jakým iým spôsobom. K tomuto účlu sa spravidla používa jdokroková mtóda takého istého rádu prsosti, aký má ďalj použitá viackroková mtóda. 3.4 Eplicité a implicité mtódy Kď sa b0 = 0albo β = 0 v mtódach v prdošlj kapitol, tak ju azývam plicitým. V tomto prípad môžm hodotu v ovom uzlovom bod priamo vypočítať dosadím do vzorca. V iých prípadoch kď b0 0 albo β 0, mtóda sa azýva implicitá. Tak sa a pravj stra rovic okrm zámych hodôt vyskytuj taktiž f + = f( +, y + ), takž y + môžm vypočítať priamo, al v každom kroku musím rišiť rovicu y = hb f(, y ) + g s zámou y +, kd g = ay + h bf k j + j j + j j= j= k s zám číslo (v každom kroku ié). V prípad iktorých pravých strá f túto rovicu vyrišim prs, obc j však potrba túto rovicu ršit umricky, väčšiou mtódou jdoduchj itráci. Táto výhoda j však vyvážá priazivými vlastosti implicitých mtód. Tito mtódy sú pri daom k prsjši a sú taktiž stabiljši ako plicité mtódy, prtož plicité mtódy sa môžu stať stabilým pri vľkých, ako budt vidiť v ďalších častiach.

16 3.5 Prdbžá úvaha o istcii rišia V asldujúcich častiach sa budm podrobjši zaobrať jdotlivými umrickými mtódami rišia difrciálych rovíc. Prdovštkým však musím pouvažovať či difrciála rovica: dy y' = = f( y, ) (A) d má vždy riši, albo či v každom prípad jstvuj roviá čiara, určá touto rovicou. Hor uvdou rovicou j určý smrový tags hľadaj rovij čiary y(). Kď vzmm pravouhlú súradicovú sústavu o osiach a y, vtdy d dy = 0 y= y 0 = f(, y ) zamá určitú albo určitú hodotu. V prvom prípad smrový tags tčy pri čiar y() v bod o súradiciach 0, y 0 môžm určiť. Avšak tča obsahuj aj dosť blízky bod tjto čiary o súradiciach 0 + =, y0 + y = y, prto a základ (A) môžm zas určiť smrový tags a tak aj tču v ľubovoľ blízkom bod tjto čary. Kď takto postupujm ďalj a spojím úsčkami vždy dva susdé body, dostam schodkovú čiaru, ktorá k hľadaj čiar difrciálj rovic (A) sa môž priblížiť tak prs, ako l chcm. Tým j hrubo azačé, ž taká čiara albo riši difrciálj rovic (A) jstvuj. Toto riši j také, ž pri 0 má hodotu y 0, t.j. roviá čiara y(), určá difrciálou rovicou, musí prhádzať začiatočým bodom P 0 ( 0,y 0 ), prto riši difrciálj rovic závisí št aj od začiatočého bodu, od začiatočj podmiky. Táto podmika zodpovi ľubovoľj koštat, ktorá sa vyskytuj pri riší itgráciou. Ak túto podmiku vzmm za paramtr, riši difrciálj rovic zamá gomtricky sústavu roviých čiar. Toto riši okolitých bodov, určých začiatočou hodotou, ktoré sú jho rgulárymi bodmi, j holomorfé, t.j. jdozačé, spojit a kočj hodoty. Kď rovica (A) pri určitých hodotách, y spojit za sbou asldujúcich má určitú hodotu, vtdy v bod, určom týmito hodotami, gomtrická čiara má siguláry bod.[3] 0 0

17 3.6 Eulrova mtóda Eulr použil prdchádzajúcho paragraf a to, aby mohol určiť približé riši difrciálj rovic (A). K tomu trba určiť difrciál y. Tto dostam, kď fukciu y()=f() rozviim podľa Taylorovho radu v okolí začiatočého bodu P 0 ( 0,y 0 ), ktorý môž byť sigulárym bodom a dostam: kd sú: albo 3 () (3) y0 = F'( 0) + F ( 0) + F ( 0) +...,! 3! F'( ) = d = f( y, ), dy f f F () ( ) = + f = f + fy f dy F ( ) = f + f f + f f + f ( f + f f). (3) y yy y y df y'' = ( y, ) = f( y, ) + fy( yy, ) ' = f( y, ) + fy( y, ) f( y, ) d kd id rspktív y zamá parciálu driváciu vzhľadom k albo y. Trtiu driváciu sa dá aalogicky získať: y''' = f + ff + f f + f f + ff y yy y y V špciálych prípadoch sa používa táto mtóda Taylorov rozvoj. Kď j fukcia f v rovici (A) difrcovatľá do dostatoč vysokého rádu. Iformáci o Eulrovj mtód som črpal z []a [3] Výpočt s Eulrovou mtódou Eulrova mtóda j ajjdoduchšou mtódou a umrické riši difrciálych rovíc. Postup od daj začiatočj dvojic hodôt 0, y 0, ktoré určujú začiatočú podmiku úlohy, sa určujú hodoty, y,,, y asldov: Zvolím počiatočý krok h 0 a hodota bud potom = 0 + h0. Potom vypočítam hodotu y. Najskôr ájdm pr hľadaú fukciu y() Taylorov polyóm prvého stupňa v bod 0. Pri prdpokladu, ž ami zvolý krok h 0 j malý, y ( ) y ( ) + hy' ( ) V tjto aproimácii traz ahradím hodotu y ( 0 ) hodotou f( 0, y 0) z pôvodj rovic a dostávam: y ( ) y ( ) + hf(, y )

18 Na základ tjto úvahy vypočítam traz y takto: y = y + hf(, y ) Z vyšši uvdého vyplýva, ž hodota y bud aproimovať prsú hodotu y( ), a postup môžm zopakovať pr, y atď. Rkurt dostávam: Ak mám vypočítaé hodoty, y pr jaké, zvolím h a potom = + h, y = y + hf(, y ). + + Pr kvidistatý krok h to jst h h,,, 0 = h h dostávam schému = + h, y = y + hf(, y ) Chyba a rád Eulrovj mtódy (opt. h) Zaujíma ás, s akou prsosťou sm vypočítali hodoty zámj fukci y() v bodoch,...,, tda aký j rozdil y ( ) y, aproimácia a kovrgcia mtódy, rád rýchlosti kovrgci mtódy. Lokála diskrtizačá chyba (d ), ktorj sa dopustím v jdom kroku výpočtu Eulrovj mtódy, to jst chybu, s akou hodoty prsého rišia spĺňajú rkurtý vzťah: y ( + ) = y ( ) + hf(, y ) + d Mradlom, ako prs aproimuj postuposť hodôt y, y,, y prsé riši daj začiatočj úlohy, j globála diskrtizačá chyba. Začím ju ako sm sa už prdošlých častiach dozvdli = y ( ) y. V stručosti zopakujm, ž rád mtódy j ajväčši prirodzé číslo p také, ž pr daú mtódu aplikovaú a ľubovoľú začiatočú úlohu s dostatoč hladkým riším. Riši j spojitá fukcia, ktorá má aj spojité driváci prvého a prípad vyšších rádov. Platí pr ľubovoľé a h 0 odhad d = Oh + p ( ) Ozači a= Oh ( ) zamá, ž istuj také číslo C > 0, ž a Ch. Rád Eulrovj mtódy odvodím opäť vľmi ľahko použitím Taylorovho radu a jho zvyšku. Mám Prto Ak j y ohraičá, potom d = y ( ) y ( ) hy' ( ), + y ( + ) = y ( ) hy '( ) + hy ''( ψ), pr ψ (, + ). d ( ) d = hy ''( ψ ). al dostatoč hladká fukcia, iak sa rád mtódy zíži. = Oh a tda Eulrova mtóda j prvého rádu. Riši musí byť 4

19 Odvodím traz globálu chybu Eulrovj mtódy pr prípad kvidistatého kroku, to jst h = h = h = = h Odčítam rovic algoritmu Eulrovj mtódy a lokálj chyby: : 0 Mám y = y + hf(, y ), + y ( ) = y ( ) + hf(, y ) + d + = + h( f(, y ( )) + f(, y)) + d. Ku globálj chyb sa tak v každom kroku pripočíta lokála diskrtizačá chyba, a prto sa v globálj chyb + prjavia prsosti miulých diskrtizačých krokov. V prípad, ž fukcia f j l fukciou prmj a tda závisí a y(), ihď dostávam N N = d = 0 tda N Kďž už z vyšši uvdého vim, ž lokála chyba j typu Oh ( ) a N 0 = Nh, h N 0 =, dostávam N = Oh ( ) čiž globála diskrtizačá chyba j mšia ako Ch pr jaké rál číslo C > 0. Nsmim zabudúť ai o vplyv zaokrúhľovacích chýb, kd zahrňujm vštky prsosti spôsobé ralizáciou algoritmu v počítači, vráta prsého vykoávaia aritmtických oprácií. Podob ako mpirické chyby vo vstupých údajoch, aj zaokrúhľovacia chyba má áhodý charaktr, a prto i j ľahké ju vyštriť. Nch ε j maimála zaokrúhľovacia chyba v jdom kroku Eulrovj mtódy. Ozačili sm y skutočé približé riši a traz ozačm y približé riši, ktoré skutoč vypočítam a ktoré sa od rišia y líši vplyvom zaokrúhľovacích chýb. Takéto riši potom spĺňa pr kvidistatý krok rovicu y = y + hf(, y) + + ε, = 0,, Clková chyba vzikutá zaokrúhľovaím bud tda Nε, kd N j posldý krok, ktorý sm vypočítali. Z vľkosti N, ktorú sm odvodili vyšši, vidím ž clková zaokrúhľovacia chyba ε ( N 0 ) bud. Prto clková chyba výpočtu v bod bud súčtom globálj diskrtizačj h chyby (chyby mtódy) a globálj zaokrúhľovacj chyby: ε ( N 0) y ( N) yn Ch+ : = gh ( ) h isté h opt ε( N 0 ) Fukcia g bud miimála pr h= C. Tda chyba bud miimála pr. Ďalším zmšovaím h ám budú arastať zaokrúhľovaci chyby ( kroky budú mši, a prto ich bud viac). Ak zvolím h väčši ako j h opt bud zas prvládať chyba diskrtizačá. Tto jav j typický aj pr ié difrčé mtódy. 5

20 3.6.3 Implicitá Eulrova mtóda Vzorc implicitj mtódy, azývaj tiž ako backward Eulr mthod j asldový: y = y + hf(, y ) Ako vidím vo vzorci vystupuj y + a ako u každj implicitj mtódy všobcosti riši difrciálj formuly vdi k liárj algbraickj rovici, ktorú môžm rišiť apríklad Nwtoovou itráciou. J tiž mtódou prvého stupňa, al jj výhodou j, ž pri j môžm použiť väčši h a udržať pri tom stabilitu aj pri takzvaých stiff systémy. S stiff rovicami, u ktorých sa iktoré mtódy chovajú stabil, sa podrobjši zozámim s ďalších častiach. Musím tda pouvažovať o tom, pri vdomí toho, ž výpočt implicitých mtód j ovľa áročjší ako pri plicitých mtódach, v akom prípad mtódu použiť. 3.7 Taylorova vta Eulrova mtóda ako aj ié mtódy sú rozviuté podľa Taylorovho radu, tak si povim pár slov o j. Mtódy a pricíp aproimáci fukci Taylorovým polyómom, volám mtódy Taylorovho typu. Tito môžu byť aj vyšších rádov ako j Eulrova mtóda, a druhj stra zas trba počítať aj driváci daj fukci. Tito mtódy sú prto prsjši, ako j Eulrova, al sú aj omoho prácjši. Nch fukcia f má v bod a vštky driváci až do rádu. Potom mohočl prmj ( ) f ( a) f ( a) f ( a) T ( f, a, ) = f( a) + ( a) + ( a) + + ( a) =!!! k k f ( a) k d f( a, ) = ( a) = k! k! k= 0 k= 0 volám Taylorov mohočl (polyóm) fukci f v bod a. Taylorova vta vyjadruj fakt, ž spomdzi vštkých mohočlov stupňa mšiho albo rového práv mohočl T (,, ) f av ajlpši aproimuj hodoty fukci f v blízkom okolí bodu a. Taylorova vta: Nch fukcia f má v itrval ab, spojité driváci ( ) a driváciu f, f,, f itrval ( ab, ). Potom pr každé ab, istuj také číslo r ( a, ), ž platí ( + ) f () r f( ) = T ( f, a, ) + ( a) ( + )! Všimim si: Pr hodoty blízk číslu a j posldý čl (zvyšok) blízky 0 a prto f( ) T ( f, a, ) pr z blízkho okolia čísla a. V prípad =0 sa Taylorova vta zhoduj s Lagragovou vtou o strdj hodot, ako sm sa dozvdli z []. + f ( + ) v 6

21 3.8 Modifikáci Eulrovj mtódy Pri modifikáciách Eulrovj mtódy budm postupovať podob ako u Eulrovj mtódy. Najprv vypočítam pomocé hodoty k a k a pomocou ich potom približú hodotu rišia v ďalšom uzlovom bod. U prvj modifikovaj Eulrovj mtód počítam podľa vzorca: k = f(, y ) k = f( + h, y + hk ) y = y + hk + u druhj modifikáci podľa vzorca: k = f(, y ) k = f( + h, y + hk ) y+ = y + h(k+ k) Obidv modifikovaé Eulrové mtódy sú druhého rádu. Gomtricky sa dá tito mtódy itrprtovať podob ako Eulrovu mtódu. Na obrázkoch 4 a 5 vidím jd krok prvj, rsp. druhj modifikovaé Eulrovj mtódy.[] U prvj modifikáci ajprv ájdm pomocý bod P, a to asldujúcim spôsobom. Z bodu [, y ] idm po priamk zo smricou f(, y ), tj. takisto ako u Eulrovj mtód, al dôjdm l do bodu s -ovou súradicou + h/. Približou hodotu rišia v bod + potom získam tak, ž z bodu [, y ] pôjdm takisto po priamk, al zo smricou určou smrovým polom v bod P, kým dôjdm do bodu s -ovou súradicou +. U druhj modifikáci skoštruujm dva pomocé body P a P. Bod P dostam jdým krokom obyčajj Eulrovj mtódy. Bod P potom získam tak, ž z bodu [, y ] pojdm po priamk zo smricou daou smrovým polom v bod P do bodu s -ovou súradicou +. Nový bod [ +, y + ] potom bud lžať v strd úsčky PP.[] 7

22 3.9 Mtódy typu Rug-Kutta Mtódy typu Rug-Kutta sú jdou z ajdôlžitjších skupí jdokrokových mtód, sú vľmi uivrzál a v tchickj prai užitočé prto sa používajú vľmi často. Tiž sú v podstat založé a Taylorovom rozvoji fukci, al priamo tak, aby sm musli určovať hodoty drivácií fukci - tito sa aproimujú výpočtom samotj fukci vo vhod zvolých stratgických bodoch. Zo dvoma jdoduchými príkladmi mtód Rug-Kutta, prvou a druhou modifikovaou Eulrovou mtódou, sm sa už zozámili v prdchádzajúcj kapitol. Obcý tvar mtódy typu Rug-Kutta j y = y + hwk ( wk s s), kd k = f(, y ) i k = f( + α hy, + h β k ), i =,..., s i i ij j j= a w i, αi a βij sú koštaty zvolé tak, aby mtóda mala maimály rád. U prvj modifikovaj Eulrovj mtód bolo w = 0; w = ; α = a β =, u druhj modifikáci w = w = ; α = a β =. Najzámjšia j asldujúca mtóda Rug-Kutta 4. rádu. Často, hovorí sa o mtódy typu Rug-Kutta, myslí sa tým práv táto kokréta mtóda. h y+ = y + ( k+ k + k3 + k4) 6 k = f y (, ) (, ) 4 3 h h k = f +, y + k h h k3 = f +, y + k k = f + hy + hk V asldujúcom častiach budm porovávať mtódy a uvidím, ž riši získaé mtódou Rug-Kutta 4. rádu j oproti rišia pomocou Eulrovj mtódy podstat prsjšia. Nvýhodou j, ž v každom kroku musím štyrikrát počítať hodotu fukci f. Obc pri vyšších rádoch m>4 j vždy trba viac ž m dosadí. 8

23 3.0 Lichobžíková mtóda Lichobžíková mtóda svoj ázov dostala od pravidla, ktoré j v j použité a itgráciu, tzv. lichobžíkové pravidlo. Má vclku jdoduchý vzorc: = + h + y = y + hf [ (, y ) + f(, y )]/ al ako môžm vidiť tiž id a implicitú mtódu, takž pri jj riší musím byť pripravý a zvláduti liárj algbraickj rovic. Táto lichobžíková mtóda spolu zo implicitou Eulrovou mtódou sú prvými dvoma člmi rodiy Adams-Moulto pr riši ODR. Obrázok 6: Lichobžíkové pravidlo Pr zvýši prsosti sa itrval <a, b> rozdlí a m mších itrvalov dĺžky h = (b a)/m. Na každom mšom itrval sa použij lichobžíkové pravidlo. [] Platí b f( d ) = f( d ) + f( d ) f( d ) B m a 0 m h h h B ( f ( 0) + f ( ) ) + f ( ) + f ( ) + + f + f ( )... ( ( m ) ( m) ) takž b f( d ) B h f( 0) + f( ) f( m ) + f( m) a Zo vzorca vidiť, ž čím viac itrval <a, b> adlím, tým prsjší bud výsldok. 9

24 3. Odhad chyby. Riadi dĺžky kroku Tortické odhady chýb u jdokrokových mtód sa líši od prai. V prai sa väčšiou používa takzvaá mtóda polovičého kroku. Zjdoduš ju môžm popísať: Majm umrickou mtódu pr riši počiatočých úloh, ktorá j rádu p. Prsé riši úlohy budm aďalj začiť y(), al ako y(,h) ozačím približou hodotu rišia v bod, ktorou sm dostali použitím ašj umrické mtódy s krokom h. Prtož mtóda j p-tého rádu, pr chybu platí kd c závisí a, al a h i, lbo y ( )- y (, h) B c h p y ( ) B y (, h) + c h. p platí Do takého istého bodu sa môžm dostať aj pomocou polovičého kroku. V tomto prípad p h h y ( ) B y, + c Rovici môžm vyásobiť p a odpočítať od prdošlj rovic. Tím sa vylúči čl obsahujúci zámou koštatu c a po mirj úprav dostam ové približé vyjadri y(), p h y (, ) - y (, h) y ( ) B, (B) p - ktoré j prsjši ako obidva približé hodoty y(,h) a y(,h/). Z posldého vzťahu môžm vyjadriť chybu v bod pr krok h/ rsp. pr krok h h h y ( ) - y, B y, - y (, h) p - p h y ( ) - y(, h) B y, - y (, h) p - Tto vzorc pr odhad chyby sa dá použiť pr riadi dĺžky kroku h. Vypočítam vždy približú hodotu rišia v bod i jdým krokom mtódy s použitím kroku h a dvoma kroky mtódy s použitím kroku h/. Potom môžm pomocou týchto dvoch hodôt odhadúť chybu. Kď j príliš vľká, vrátim sa do prdchádzajúcho uzlového bodu a pokračujm s polovičým krokom, iakšom prípad, kď j chyba vzhľadom k ašim požiadavkám a prsosť príliš malá, pokračujm ďalj s väčším krokom, apr. dvojásobým. Ako výsldú aproimáciu potom môžm vziať kombiáciu oboch hodôt vypočítaých podľa vzorca (B). Tato mtóda j dosť práca, al účiá. V prai sa tiž pr riadi dĺžky kroku používa kombiácia dvoch rôzych mtód. Približé riši v bod i ájdm dvoma rozličými jdokrokovými mtódami. Na základ týchto dvoch výsldkov j odhadutá chyba. V prípad, ž j dostatoč malá, môžm pokračovať, kď j príliš vľká, vrátim sa a pokračujm s mším krokom. 0

25 4 Riši ODR a porovai mtód Kď sm sa už zozámili jdotlivými mtódami, ktoré budm skúmať, j ačas aby sm ich porovali a zistili, ktoré v akých okolostiach sa dajú používať. Iformáci o mtódach v prdošlých častiach a ámt pr príklady som črpal z skrípt []. 4. Dôlžitosť kroku Vzmim si jdoduchý príklad počiatočj úlohy y' = y, y(0) = a rišm plicitou Eulrovou mtódou pr ODR a itrval <0;.5> v prvom prípad pr h=0.65 a potom pr h=0.5. Na riši použijm vzorc (3.6.), dosadím hodoty a tým dostam ďalší vzorc: y = y + + 0,65( - y), = 0,..., 4 pomocou, ktorého už ľahko vim vypliť dolú tabuľku. y\eu- y() Riadok y() j prsé riši v daých uzlových bodoch, ktorú sm dostali použitím aalytického rišia z dol uvdj rovic, a požijm ju a výpočt chyby: y - ( ) = Podobou mtódou vypočítam hodoty aj pr krok h=0.5 a výsldky zapíšm do grafu: y.5 y() y y-big h Obrázok 7: Prsé a približé rišia Na obrázku pk vidiť, ž riši y-big h pri ktorj sm použili väčši h=0.65 má podstat vyššiu chybu ako riši y s použitím mším krokom h=0.5. Chyby sm graficky zobrazili a obrázku 8.

26 /y-big h /y Obrázok 8: Chyby približých riší Pozámka: Kď a riši použijm Eulrovu implicitú mtódu, jj výpočtom sa zozámim v ďalšj kapitol, dostam prsjši výsldky. Ako vidiť aj z obrázku 9. Potvrdili sm tda to čo sm sa dozvdli v tortickj časti, ž implicitá mtóda j prsjšia a chová sa stabiljši pri väčších h ako plicitá /y-big h /y i/y i/y-big h Obrázok 9: Porovai chýb plicitj () a implicitj (i) mtódy

27 4. Rozdily mdzi mtódami Príklad.: Vzmim si tú istú počiatočú úlohu ako prdošlom prípad y y y ' =, (0) = a rišm vštkými umrickými mtódami pr ODR ktorými sm sa obozámili. Majm itrval <0;.5> a krok h=0.5. Riši pr Eulrovu plicitú mtódu pozám z prdošlj časti. Popíšm tak mtódu rišia Rug-Kutta štvrtého rádu (RK4). Dosadím do vzorcou (3.8) dostam: 0.5 y+ = y + ( k+ k + k3 + k4 ) 6 k = f y = y (, ) h h k = f +, y + k = + y + k h h k3 = f +, y + k = + y + k (, ) ( + 0.5) ( ) k = f + hy + hk = y k Postup vypočítam hodoty k, k,k3,k4 a dosadím dostávam asldujúcu tabuľku: k k k3 k4 y\rk

28 Ostali ám implicité mtódy pri, ktorých ako vim výpočt j troška áročjší. Môžm si však výpočt v tomto prípad zjdodušiť dosadím do vzorca a vyjadrím y +. Modifikujm vzorc kým ám a ľavj stra osta ié l y +, v tomto kokrétom prípad sm pri Eulrovj implicitj mtód postupovali asldov a hodoty sm zapísali do tabuľky: y = y + hf(, y ) y = y + h ( y ) y = y + h hy y y y hy = y + h = = y y + h+ h h + + y\eu-i Podob sm postupovali aj pri lichobžíkovj implicitj mtód. Výpočty a tabuľka sú asldové: y = y + hf [ (, y ) + f(, y )]/ h y+ = y + [ y + + y+ ] h h h h y + y = y y + + h h y + ( + + ) y + = h y\l-i

29 Dosiahuté výsldky sm zhruli do jdj tabuľky pr ľahši porovai: y() y\eu- y\rk4 y\eu-i y\l-i a zobrazili sm ich v grafu:.60 Y X y() y\eu- y\rk4 y\eu-i y\l-i Obrázok 0: Graf približých riší príkladu 5

30 Pr porovai mtód však bud ajjdoduchši zobraziť ich globálu diskrtizačú chybu jdotlivých. i = y( i) - y i y() \Eu- \RK4 \Eu-i \L-i \Eu- \RK4 \Eu-i \L-i Obrázok : Graf globálj diskrtizačj chyby príkladu. Z grafu môžm vidiť, ž postup s každým krokom sa globála diskrtizačá chyba zvyšuj. Všimim si aj to, ž mtódy ižšiho rádu (Eulrova plicitá a implicitá mtóda) ám dávajú prsjši výsldky ako ostaté mtódy vyšších radov, pritom v tomto prípad j miimály rozdil mdzi implicitou a plicitou Eulrovou mtódou. Môžm tda povdať, ž pr riši tohto príkladu postačuj plicitá mtóda, ktorá má podstat jdoduchší výpočt. 6

31 Príklad. Zopakujm si pr zaujímavosť príklad tak isto v 0. krokoch pr pomr vysoké h=3. Dostam asldové výsldky: y() y\eu- y\rk4 y\eu-i y\l-i zázorím ich v grafu: 3500 y ,00 5,00 0,00 5,00 0,00 5,00 30,00 35, y() y\eu- y\rk4 y\eu-i y\l-i Obrázok : Graf približých riší príkladu pr h=3 Na grafu môžm vidiť zaujímavé chovai Eulrovj plicitj mtódy. Pozrim sa a globál diskrtizačé chyby. y() \Eu- \RK4 \Eu-i \L-i

32 Z asldujúcho grafu vidiť, ž pri tomto prípad riši plicitých mtód sa dá použiť. Môžm pozorovať aj to ako sa Eulrova plicitá mtóda stala stabilou. Pritom implicité mtódy dávajú clkom prijatľý výsldok aj pri trém vysokom h. Kvôli tomu sa prai pri plicitých mtódach používa mši krok, al ako sm sa dozvdli v kapitol o h opt aj príliš malé h môž spôsobiť vľkú chybu kvôli zaokrúhliu. 0000, , , , , ,000 0, ,000 0,000 5,000 0,000 5,000 30,000 35,000 0, , , , , , \Eu- \RK4 \Eu-i \L-i Obrázok 3: Graf globálj diskrtizačj chyby príkladu pr h= Stiff systémy Príklad 3.: Rišm počiatočú úlohu y = -0y, y(0)= a vštkými umrickými mtódami pr ODR ktorými sm sa obozámili. Majm krok h=0.5 a =0. Postup pri riší a zjdoduší j obdobý ako v prdošlých prípadoch budm pr uvádzať už l tabuľky a grafy pr porovai výsldkov. Hodoty y() prsého rišia v daých uzlových bodoch, sm dostali použitím aalytického rišia z rovic y() = -0. y() y\eu- y\rk4 y\eu-i y\l-i

33 Porovajm Eulrovu plicitú mtódu z ostatými mtóda. Kým sa ostaté mtódy podob, ako prsé riši, približujú k ul, Eulrova plicitá mtóda sa odďaľuj., y 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, 0 0,5,5,5 3 y() y\rk4 y\eu-i y\l-i Obrázok 4: Riši príkladu 3. 6 y 4 0 0,0 0,5,0,5,0,5 3, y() y\eu- Obrázok 5: Nstabilita Eulrovj plicitj mtódy. 9

34 Pri takzvaých stiff vzorcoch si môžm všimúť, ž plicité mtódy vyšších rádov dávajú prsjší výsldok, ako implicité mtódy ižších rádov. 00, , , ,000 0, ,500,000,500,000,500 3,000 0, , , , , , , , , \Eu- \RK4 \Eu-i \L-i Obrázok 6: Graf globálj diskrtizačj chyby príkladu 3. y() \Eu- \RK4 \Eu-i \L-i A-stabilita Pri príkladoch, ako j aj príklad 3, ktoré majú formu y (t)=k*y(t), kd k<0 sa riši približuj k ul v. Mtóda j A-stabilá, v prípad, kď umrické približé riši má takú istú vlastosť závisl od kroku. Id o vľmi silú podmiku, takéto mtódy prakticky ukazujú problémy so stabilitou. A-stabilá j apr. implicitá Eulrova formula a lichobžíková formula. 30

35 Pri mšom kroku apr. h=0.0 sa stabilita ukazuj:, ,000 0,050 0,00 0,50 0,00 0,50 0, , , , , , \Eu- \RK4 \Eu-i \L-i Obrázok 7: Graf globálj diskrtizačj chyby príkladu 3 pr h=0.0 Výsldky zapísaé v tabuľkách: y() y\eu- y\rk4 y\eu-i y\l-i y() \Eu- \RK4 \Eu-i \L-i

36 5 Aalýza Taylorovj mtódy Jdá sa o mtódu o ktorj istuj l málo iformácií, a tória skoro vôbc žiada. Ciľom tjto prác j práv to, aby sm Taylorovu mtódu aalyzovali a určili jj vlastosti a možosti použitia. To bud ajjdoduchši pomocou príkladov a porovaím s prdošlými mtódami. Pozrim si však ajprv vzorc mtódy pr riši dif. rovíc. Vychádzam samozrjm z Taylorovj rady, s ktorou sm sa už prdošlých častiach zozámili. Pr plicitú mtódu platí 3 i h h h h vzorc: y( ) = y + y' + y'' + y y +!! 3! i! (3) () i 3 h h h y( ) = y + f(, y) + f '(, y) + f ''(, y) !! 3! 3 i h h h h a pr implicitú mtódu: y( ) = y + y( ) ' + y( ) '' + y( ) y ( + )!! 3! i! (3) () i h h h y( ) = y + f y + f y + f y + +!! 3! 3 ( +, + ) '( +, + ) ''( +, + )... Na prvý pohľad si môžm všimúť hď dv vci. Na to aby sm vdli rišiť difrciálu rovicu Taylorovou mtódou musím pozať vyšši driváci fukci a ak si pozor pozrim začiatok rovic môž si tam všimúť vzorc pr Eulrovu mtódu. 5. Prsosť Prsosť mtódy závisí a počtu člov, prsjši ju môžm určiť z rozdilu posldých dvoch člov. Z toho vyplýva aj to, ž samozrjm prsosť závisí aj a kroku h, al pozrim si to a kokrétom príklad. Príklad 4.: Porovajm rišia z príkladu s riším takj istj počiatočj úlohy s Taylorovými mtódami. Ako už vim, k tomu potrbujm pozať vyšši driváci fukci: y' = y, y(0) =. Postupujm asldov: Kď y'' = y' tak dosadím y dostam y'' y = + potom (3) y y = + ' po dosadí (3) y y = + a tak ďalj... Rišm pr rôz kroky a porovajm výsldky kď použijm viac člov Taylorovj rady. Pr plicitú mtódu po dosadí dostam vzorc: 3 h h y( ) = y + h ( y) + ( + y) + ( + y) ! Hodoty z pravj stray, y, h pozám, dosadím do vzorca a dostam hodotu y +. Zložitjši j to však u implicitj mtód kd vzorc po dosadí musím upraviť: 3 h h y( ) = y + h ( y ) ( y ) ( y ) ! Musím vyjadriť hodotu y + aby sm mohli ďalj počítať: y ( + ) h h h h y + + ( h + ) + + ( h ) + = 3! 3 3 h h + h + 3! 3 3

37 y ( + ) = Rovic pr 6 člov po upraví hor uvdým postupom sú asldové: Eplicitá, Implicitá, h y( ) = y + h ( y) + ( + y) h h + ( + y) + ( + + y) + 3! 4! 5 6 h h + ( + y) + ( + + y) 5! 6! h h h h h h h h h h h h h y + ( h + + ) + ( h + + ) = 3! 4! 5! 6! h h h h h + h + + 3! 4! 5! 6! Rišm tda úlohu pr h=0.5 s počiatočou podmikou y(0)= a zapíšm ich do tabuľky: y() y\t y\ti y\tp y\tip y\tp6 y\tip Kd T zamá Taylorovu mtódu, /i plicitú/implicitú mtódu, p/p6 ž id o prsjši mtódy s viacrými člmi 4 a 6. y() \T \Ti \Tp \Tip \Tp E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-08 33

38 Zobrazm hodoty v grafu: \Eu- \T \Tp \Tp6 Obrázok 8: Graf globálj diskrtizačj chyby príkladu 4 pr plicité mtódu \Eu-i \Ti \Tip \Tip6 Obrázok 9: Graf globálj diskrtizačj chyby príkladu 4 pr implicitú mtódu Z obrázku 8 pk vidiť ako u plicitých mtódach pri malých h rasti spolu s počtom člov aj prsosť mtódy. Pritom z grafu 9 by sm si mohli mysliť, ž u implicitých mtódach to už tak i j a oplatia sa ám rastúc ároky a výpočt s zvýšým počtom člov. Vď aj s Eulrovou implicitou mtódou sm dostali lpši výsldky, al pozrim si čo sa sta kď zvýšim krok h a : 34

39 \Eu- \T \Tp \Tp6 Obrázok 0: Graf globálj diskrtizačj chyby príkladu 4 pr plicité mtódu h= \Eu-i \Ti \Tip \Tip6 Obrázok : Graf globálj diskrtizačj chyby príkladu 4 pr implicitú mtódu h= Z obrázkov vidiť, ž zvýším kroku plicité mtódy dávajú prsjši výsldky al musím si všimúť aj to, ž sa ám objavili rozdily mdzi implicitými mtódami s rôzymi člmi. Zaujímavosť sa sta kď zvýšim h a pomr vysokú hodotu 0: 35

40 E+50 E+45 E+40 E+35 E+30 E+5 E+0 E+5 E \Eu- \T \Tp \Tp6 Obrázok : Graf globálj diskrtizačj chyby príkladu 4 pr implicitú mtódu h= \Eu-i \Ti \Tip \Tip6 Obrázok 3: Graf globálj diskrtizačj chyby príkladu 4 pr implicitú mtódu h=0 Pri takomto vysokom h už plicité mtódy i sú použitľé. Pritom zaujímavo implicité mtódy pri čoraz vyššom h dávajú prsjši výsldky. A pk sa ám vykryštalizovali rozdily mdzi Ti, Tip a Tip6. Pri h=00 chyba Tip6 sa íži približ a Príklad 5: Môžm si však položiť otázku platí to aj pr Stiff systémy? Použij pr zodpovdai tjto otázky príklad 3 z prdošlj časti. Potrbujm k tomu pozať vyšši driváci poč. úlohy y = -0y. Postupom z prdošlj časti sa dostam k vzorcu ( ) y = 0 y => uvdim vzorc pr 5 člov, ižši sa ľahko dajú zj vyjadriť: h h 3 h 4 h 5 y( ) = y + h( 0) y + ( 0) y + ( 0) y + ( 0) y + ( 0) y ! 4! 5! y y( ) = h 3 h 4 h 5 h + 0 h + ( 0) + ( 0) + ( 0) + ( 0) 3! 4! 5! 36

41 Ako sm si už u plicitých mtód zvykli staú sa stabilým u stiff mtódach, zálží však a kroku. Nižši mtódy ako Eulr a Taylor s dvomi člmi sa staú stabilým už pri kroku h=0.5, al aj Taylor s šistimi člmi sa vzdá pri h=0.5. Zamá to však pr ás aj to, ž j možé rišiť stiff systém s Taylorovou plicitou mtódou l si musím vypočítať dostatok člov, avšak sa ám to oplatí kďž Eulrova implicitá mtóda pri kroku 0.5 ám dáva také prsé riši ako áročý Tp6. Ako môžm vidiť s asldujúcich grafov: y y\eu- y\t y\tp y\tp6 y() Obrázok 4: Graf plicitých riší - stabilita h= E-05 E-06 E-07 E-08 E-09 E-0 E \Eu- \T \Tp \Tp6 Obrázok 5: Graf globálj diskrtizačj chyby príkladu 5 pr plicitú mtódu h=0.5 37

Operačná analýza 1-00

Operačná analýza 1-00 Operačá aalýza -00 základy teórie odhadu testovaie štatistických hypotéz Základy teórie odhadu. odhad parametra rozdeleia pravdepodobosti. odhad rozdeleia pravdepodobosti X, X, X 3,... X - áhodý výber

Podrobnejšie

MO_pred10

MO_pred10 Priestorové rozvrhy vozidiel Priestorové rozvrhy (trasy) vozidiel sú riešeím široke škály problémov, ktorých spoločým meovateľom e obsluha požiadaviek zákazíkov umiesteých v uzloch doprave siete pomocou

Podrobnejšie

Microsoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc

Microsoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc 6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4

Podrobnejšie

Slide 1

Slide 1 Diferenciálne rovnice Základný jazyk fyziky Motivácia Typická úloha fyziky hľadanie časových priebehov veličín, ktoré spĺňajú daný fyzikálny zákon. Určte trajektóriu telesa rt ( )???? padajúceho v gravitačnom

Podrobnejšie

Príklad 8 - Zemnýplyn 3. Bilančná schéma 1. Zadanie príkladu 1 - zemný plyn n 1 =? kmol/h 3 - syntézny plyn x 1A =? x 1B =? n 3 = 500 kmol/h PEC x 1C

Príklad 8 - Zemnýplyn 3. Bilančná schéma 1. Zadanie príkladu 1 - zemný plyn n 1 =? kmol/h 3 - syntézny plyn x 1A =? x 1B =? n 3 = 500 kmol/h PEC x 1C Príklad 8 - Zemýply 3. Bilačá schéma 1. Zadaie príkladu 1 - zemý ply 1 =? kmol/h 3 - sytézy ply x 1 =? x 1B =? 3 = 500 kmol/h PEC x 1C =? x 3 = 0.0516 x 3B = 0.0059 x 3C = 0.3932 2 - vodá para x 3 = 0.4409

Podrobnejšie

III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.

III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD. III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej

Podrobnejšie

Pošta, Telekomunikácie a Elektronický obchod ISSN VPLYV NÁKLADOV POISŤOVNE NA BEŽNÚ SPLÁTKU BRUTTO POISTNÉHO Základné pojmy Lucia Švábová 1

Pošta, Telekomunikácie a Elektronický obchod ISSN VPLYV NÁKLADOV POISŤOVNE NA BEŽNÚ SPLÁTKU BRUTTO POISTNÉHO Základné pojmy Lucia Švábová 1 VPLYV NÁKLAOV POISŤOVNE NA BEŽNÚ SPLÁTKU BRUTTO POISTNÉHO Základé pojmy Lucia Švábová 1 Poisteie zabezpečuje právo a vyplateie poistej sumy v dohodutej výške v prípade astatia poistej udalosti v priebehu

Podrobnejšie

A 1

A 1 Matematika A :: Test na skúške (ukážka) :: 05 Daná je funkcia g : y 5 arccos a) Zistite oblasť definície funkcie b) vyjadrite inverznú funkciu g Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu

Podrobnejšie

STRUČNÝ NÁVOD KU IP-COACHU

STRUČNÝ NÁVOD KU IP-COACHU STRUČNÝ NÁVOD KU COACHU 6 Otvorenie programu a voľba úlohy na meranie Otvorenie programu Program COACH na meranie otvoríme kliknutím na ikonu Autor na obrazovke, potom zvolíme Užívateľskú úroveň Pokročilý

Podrobnejšie

Alternatívny prístup k analýze zmien koncentrácie poistného sektora SR na báze archimedovského cieľového programovania Ivan BREZINA Juraj PEKÁR Zuzana

Alternatívny prístup k analýze zmien koncentrácie poistného sektora SR na báze archimedovského cieľového programovania Ivan BREZINA Juraj PEKÁR Zuzana Alteratívy prístup k aalýze zmie kocetrácie poistého sektora SR a báze archimedovského cieľového programovaia Iva BREZINA Juraj PEKÁR Zuzaa ČIČKOVÁ Departmet of Operatios Research ad Ecoometrics Uiversity

Podrobnejšie

Úlohy o veľkých číslach 6. Deliteľnosť In: Ivan Korec (author): Úlohy o veľkých číslach. (Slovak). Praha: Mladá fronta, pp Persistent UR

Úlohy o veľkých číslach 6. Deliteľnosť In: Ivan Korec (author): Úlohy o veľkých číslach. (Slovak). Praha: Mladá fronta, pp Persistent UR Úlohy o veľkých číslach 6. Deliteľnosť In: Ivan Korec (author): Úlohy o veľkých číslach. (Slovak). Praha: Mladá fronta, 1988. pp. 68 75. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404183 Terms of use: Ivan Korec,

Podrobnejšie

Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič

Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali

Podrobnejšie

Matematika 2 - cast: Funkcia viac premenných

Matematika 2 - cast: Funkcia viac premenných Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť

Podrobnejšie

Prezentácia programu PowerPoint

Prezentácia programu PowerPoint Priestorové aalýzy a modelovaie Predáška 4 Názov predášky: Aalýza distribúcie priestorových dát a priestorová autokorelácia Osova predášky: Aalýza distribúcie priestorových dát Priestorová autokorelácia

Podrobnejšie

2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom

2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom 2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod

Podrobnejšie

Microsoft Word - mnohouholnik.doc

Microsoft Word - mnohouholnik.doc Výpočet obsahu mnohouholníka Mnohouholník je daný súradnicami svojich vrcholov: A1[x1, y1], A2[x2, y2],..., An[xn, yn]. Aby sme sa vyhli komplikáciám, obmedzíme sa na prípad konvexného mnohouholníka. Súradnice

Podrobnejšie

Prednáška č.4 Kľúčové slová: poznávací proces študenta, motivácia, separované, univerzálne a abstraktné modely, kryštalizácia, automatizácia. Škola ni

Prednáška č.4 Kľúčové slová: poznávací proces študenta, motivácia, separované, univerzálne a abstraktné modely, kryštalizácia, automatizácia. Škola ni Predáška č.4 Kľúčové slová: pozávací proces študeta, motivácia, separovaé, uiverzále a abstrakté modely, kryštalizácia, automatizácia. Škola ie je miesto, kde by dieťa malo získať čo ajviac vedomostí bez

Podrobnejšie

Microsoft Word - skripta3b.doc

Microsoft Word - skripta3b.doc 6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak

Podrobnejšie

Microsoft Word - Rozd_odvod_znorm.doc

Microsoft Word - Rozd_odvod_znorm.doc 1 Rozdeleia odvodeé z oráleho Mioriady výza pri aalýze štatistických údajov, získaých áhodý výbero, ajú spojité rozdeleia: chí-kvadrát rozdeleie, t-rozdeleie a F-rozdeleie. Sú odvodeé z oráleho rozdeleia

Podrobnejšie

O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky

O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011

Podrobnejšie

Príloha č

Príloha č UVÁDZANIE RÁDIONUKLIDOV DO ŽIVOTNÉHO PROSTREDIA A VYNÁŠANIE PREDMETOV Z KONTROLOVANÉHO PÁSMA Oslobodzovacie úrovne, uvoľňovacie úrovne, úrovne aktivity vymedzujúce vysokoaktívny žiarič a najvyššie prípustné

Podrobnejšie

4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p

4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p 4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia pre funkcie viacerých premenných je univerzálna metóda,

Podrobnejšie

7-dvojny_integral

7-dvojny_integral 7 DVOJNÝ INTEGRÁL A JEHO APLIKÁCIE 7 Otázk Dfinujt pojm intgráln súčt Dfinujt pojm vojný intgrál Dfinujt pojm strná honota funkci prmnných na množin Napíšt ako transformujt vojný intgrál pomocou polárnch

Podrobnejšie

Priebeh funkcie

Priebeh funkcie Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť

Podrobnejšie

60. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 2018/2019 kategória E okresné kolo Riešenie úloh 1. Zohrievanie vody, výhrevnosť paliva a) Fosílne pal

60. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 2018/2019 kategória E okresné kolo Riešenie úloh 1. Zohrievanie vody, výhrevnosť paliva a) Fosílne pal 60. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 018/019 kategória E okresné kolo Riešenie úloh 1. Zohrievanie vody, výhrevnosť paliva a) Fosílne palivá: uhlie, nafta, olej, zemný plyn. Propán-bután, lieh,

Podrobnejšie

Sila [N] Sila [N] DIPLOMOVÁ PRÁCA Príloha A: Sila v ose skrutky v mieste predpätia P = 0,

Sila [N] Sila [N] DIPLOMOVÁ PRÁCA Príloha A: Sila v ose skrutky v mieste predpätia P = 0, Príloha A: Sila v ose skrutky v mieste predpätia P =, Sila v ose skrutky v mieste predpätia P =, Obr. Priebeh síl v ose skrutiek pri stúpaní P =, a P =, ÚMTMB FSI VUT v Brně Sila v ose skrutky v mieste

Podrobnejšie

Šablóna zrkadla

Šablóna zrkadla rgioál oviy... ájdš, čo hľadáš luccko.sklucenecko VIANOČNÉ DARČEKY VEĽKOKRTÍŠSKO-POLTÁRSKO č. / 5.dcmbr 0 /. ročík týžd do 0 000 domácostí a firim M HAIR DESIGN Pôžička bz rizika 000 050 0 Zavolajt ám

Podrobnejšie

Snímka 1

Snímka 1 Alexander Chmelo Tercia 2016/2017 Podmet + základný tvar plnovýznamového slovesa. Pri tretej osobe (he/she/it) k slovesu pridávame príponu -S alebo -ES! I, you, we, they + work He, she, it + works He works

Podrobnejšie

Prenosový kanál a jeho kapacita

Prenosový kanál a jeho kapacita Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a

Podrobnejšie

10.priklady Lukasiewicz and Zadeh

10.priklady Lukasiewicz and Zadeh Cvični Cvični 9.. Zostrojt hrktristiké funki risp množín, ktoré rprzntujú intrvl rálnh čísl () (, ) I ( x) = ( x R) () 0, ) ( x 0, ) ) I ( x) 0 ( x (, 0 )) (), 0 (, 0) ( x, 0 (, 0) ) I ( x) 0 x, ) 0, 0,

Podrobnejšie

STRUČNÝ NÁVOD KU IP-COACHU

STRUČNÝ NÁVOD KU IP-COACHU STRUČNÝ NÁVOD KU COACHU 5 Otvorenie programu a voľba úlohy na meranie Otvorenie programu Program IP- COACH na meranie otvoríme kliknutím na ikonu na obrazovke: Obr.1 Voľba úlohy na meranie Po kliknutí

Podrobnejšie

Strana 2790 Zbierka zákonov č. 359/2003 Čiastka VYHLÁŠKA Ministerstva financií Slovenskej republiky z 12. augusta 2003, ktorou sa mení vyhlášk

Strana 2790 Zbierka zákonov č. 359/2003 Čiastka VYHLÁŠKA Ministerstva financií Slovenskej republiky z 12. augusta 2003, ktorou sa mení vyhlášk Strana 2790 Zbierka zákonov č. 359/2003 Čiastka 156 359 VYHLÁŠKA Ministerstva financií Slovenskej republiky z 12. augusta 2003, ktorou sa mení vyhláška Ministerstva financií Slovenskej republiky č. 170/2002

Podrobnejšie

1 Portál pre odborné publikovanie ISSN Heuristický adaptívny PSD regulátor založený na miere kmitavosti Šlezárová Alexandra Elektrotechnika

1 Portál pre odborné publikovanie ISSN Heuristický adaptívny PSD regulátor založený na miere kmitavosti Šlezárová Alexandra Elektrotechnika 1 Portál pre odborné publikovanie ISSN 1338-0087 Heuristický adaptívny PSD regulátor založený na miere kmitavosti Šlezárová Alexandra Elektrotechnika 28.04.2010 Článok spočíva v predstavení a opísaní algoritmu

Podrobnejšie

Preco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké

Preco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu   v limite, ked sú velké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako

Podrobnejšie

Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky

Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x x x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky Cvičenie 9 Riešené príklady 1. Príklad min f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x2 2 + 60x 1 s.t. x 1 80 x 1 + x 2 120 Pre riešenie úlohy vykonáme nasledujúce kroky: 1. Najskôr upravíme ohraničenia do tvaru a následne

Podrobnejšie

NÁRODNÉ POROVNÁVACIE SKÚŠKY Matematika MAREC I 2019 ZADANIE NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! Zopakujte si základní informace ke zkoušce n Test obsahuje

NÁRODNÉ POROVNÁVACIE SKÚŠKY Matematika MAREC I 2019 ZADANIE NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! Zopakujte si základní informace ke zkoušce n Test obsahuje NÁRODNÉ POROVNÁVACIE SKÚŠKY MAREC I 9 ZADANIE NEOTVÁRAJTE, POČKAJTE NA POKYN! Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce Test obshuje úloh. N jeho riešeie máte 9 miút čistého čsu. Kždá úloh má správu le jedu

Podrobnejšie

SRPkapitola06_v1.docx

SRPkapitola06_v1.docx Štatistické riadenie procesov Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním 6-1 6 Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním Cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly budete vedieť: čo sú regulačné

Podrobnejšie

Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006

Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD. Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................

Podrobnejšie

Čiastka 7/2004 (017)

Čiastka 7/2004 (017) Strana 128 Zbierka zákonov č. 17/2004 Čiastka 7 17 ZÁKON zo 4. de cem bra 2003 o po plat koch za ulo že nie od pa dov Ná rod ná rada Slo ven skej re pub li ky sa uznies la na tom to zá ko ne: 1 Úvod né

Podrobnejšie

17. medzinárodná vedecká konferencia Riešenie krízových situácií v špecifickom prostredí, Fakulta špeciálneho inžinierstva ŽU, Žilina, máj 2

17. medzinárodná vedecká konferencia Riešenie krízových situácií v špecifickom prostredí, Fakulta špeciálneho inžinierstva ŽU, Žilina, máj 2 17. medzinárodná vedecká konferencia Riešenie krízových situácií v špecifickom prostredí, Fakulta špeciálneho inžinierstva ŽU, Žilina, 30. - 31. máj 2012 ZÁSOBOVANIE VRTUĽNÍKOV VYUŽÍVANÝCH PRI RIEŠENÍ

Podrobnejšie

Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy

Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).

Podrobnejšie

Resolution

Resolution Nastavenie rozlíšenia obrazovky Kvôli podstate technológie displeja z tekutých kryštálov (LCD) je rozlíšenie obrazu vždy pevne stanovené. Najlepší výkon zobrazenia dosiahnete nastavením rozlíšenia obrazovky

Podrobnejšie

1 Priebeµzné písomné zadanie µc.1. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integ

1 Priebeµzné písomné zadanie µc.1. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integ Priebeµzné písomné zadanie µc.. Príklady je potrebné vypoµcíta t, napísa t, a odovzda t, na kontrolu na nasledujúcej konzultácii. Nasledujúce integrály vypoµcítajte pomocou základných pravidiel derivovania.

Podrobnejšie

Metódy násobenie v stredoveku

Metódy násobenie v stredoveku 1 Lucia Pekarčíková História matematiky Metódy násobenia v stredoveku (Referát) Lucia Pekarčíková 1.roč. II.stupňa Mat Inf ÚVOD V dobe ranného stredoveku sa v Európe všeobecne nepoužíval abakus, nerobili

Podrobnejšie

Microsoft Word - uktestr.doc

Microsoft Word - uktestr.doc . Napíšt vlastný výrok, o pravivosti ktorého j ťažké okamžit rozhonúť. () Dns sa v Trnav naroili ti.. Napíšt gramatikú vtu, ktorá ni j výrokom. () Učil si sa?. Určt pravivostné honoty výrokov: A: Číslo

Podrobnejšie

Stravné - přecenění

Stravné - přecenění Vytvorenie a nastavenie novej kategórie pre Obedy zadarmo Platí pre verziu programu Stravné 4.61 POZOR! Postup pre jedálne základných škôl, ktoré majú povinnosť sledovať dotácie od 1. 9. 2019 je uvedený

Podrobnejšie

Využitie moderných meracích technológií na hodnotenie kvality tlače

Využitie moderných meracích technológií na hodnotenie kvality tlače REPRODUKOVATEĽNOSŤ FARIEB FAREBNEJ FOTOGRAFIE KODAK A FUJI Katarína Kianicová - Vladimír Bukovský Metodika: 1. Počítačový návrh na prípravu modelovej farebnej fotografie pozostával z doplnkových farieb.

Podrobnejšie

SK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak,

SK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak, SK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/2011 60. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak, aby matematické operácie boli vypočítané správne.

Podrobnejšie

Číslicové spracovanie signálov II 2D filtrácia Gregor Rozinaj Katedra telekomunikácií FEI STU Bratislava Príprava fólií: Anton Marček

Číslicové spracovanie signálov II 2D filtrácia Gregor Rozinaj Katedra telekomunikácií FEI STU Bratislava Príprava fólií: Anton Marček Číslicové spracovaie sigálov II D filtrácia Gregor oziaj Katedra telekomuikácií FEI STU Bratislava Príprava fólií: Ato Marček D filtre (/) Klasifikácia filtrov FI II Postup pri ávru filtra Špecifikácia

Podrobnejšie

trafo

trafo Výpočet rozptylovej reaktancie transformátora Vo väčších transformátoroch je X σk oveľa väčšia ako R k a preto si vyžaduje veľkú pozornosť. Ak magnetické napätia oboch vinutí sú presne rovnaké, t.j. N

Podrobnejšie

Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií

Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Na obrázku máme bod B na jednotkovej kružnici, a rovnobežne s y-ovou osou bodom B vznikol pravouhlý trojuholník. Jeho prepona je polomer kružnice má veľkosť 1,

Podrobnejšie

Microsoft Word - mpicv11.doc

Microsoft Word - mpicv11.doc 1. Vypočítajte obsah plochy ohraničenej súradnicovými osami a grafom funkcie y = x. a) vypočítame priesečníky grafu so súradnicovými osami x=... y = = y =... = x... x= priesečníku grafu funkcie so ; a

Podrobnejšie

VL2, VL3

VL2, VL3 Údajový list Regulačé vetily (PN 6) V 2 2-cestý vetil, prírubové pripojeie V 3 3-cestý vetil, prírubové pripojeie Popis V 2 V 3 Vetily V 2 a V 3 poskytujú kvalité a ákladovo efektíve riešeie v systémoch

Podrobnejšie

Microsoft Word - DEOV.doc

Microsoft Word - DEOV.doc DENNÍK evidencie odborného výcviku kolský rok.../... Názov koly: D E N N Í K evidencie odborného výcviku tudijný u ebný odbor (kód a názov): kolský rok: Ro ník Trieda: Skupina: Po et iakov v skupine: Na

Podrobnejšie

Operačná analýza 2

Operačná analýza 2 Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami

Podrobnejšie

CDT

CDT EBA/GL/2016/09 04/01/2017 Usmernenia o korekciách modifikovanej durácie v prípade dlhových nástrojov podľa druhého pododseku článku 340 ods. 3 nariadenia (EÚ) 575/2013 1. Povinnosti týkajúce sa dodržiavania

Podrobnejšie

Verejná konzultácia k článku 18 Nariadenia Komisie (EÚ) 2017/2195, ktorým sa ustanovuje usmernenie o zabezpečovaní rovnováhy v elektrizačnej sústave P

Verejná konzultácia k článku 18 Nariadenia Komisie (EÚ) 2017/2195, ktorým sa ustanovuje usmernenie o zabezpečovaní rovnováhy v elektrizačnej sústave P Verejná konzultácia k článku 18 Nariadenia Komisie (EÚ) 2017/2195, ktorým sa ustanovuje usmernenie o zabezpečovaní rovnováhy v elektrizačnej sústave Predmet konzultácie Predmetom verejnej konzultácie je

Podrobnejšie

Inteligentné rozhodovacie systémy Heuristické prehľadávanie SP Október, 2018 Katedra kybernetiky

Inteligentné rozhodovacie systémy Heuristické prehľadávanie SP   Október, 2018 Katedra kybernetiky Inteligentné rozhodovacie systémy Heuristické prehľadávanie SP Marian.Mach@tuke.sk http://people.tuke.sk/marian.mach Október, 2018 Katedra kybernetiky a umelej inteligencie FEI, TU v Košiciach 1 Best-first

Podrobnejšie

Pokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc

Pokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová

Podrobnejšie

PE_11_1.indd

PE_11_1.indd VPLYV MONETÁRNEHO ZÁSAHU V RÁMCI IS-LM MODELU S DYNAMICKOU ÚPRAVOU CIEN A ADAPTÍVNYMI OČAKÁVANIAMI Szomolányi Karol, Lukáčik Martin, Lukáčiková Adriana, Ekonomická univrzita v Bratislavě* Úvod Romr (2000)

Podrobnejšie

B _UZP_rocne_zuctovanie_A5_0718.indd

B _UZP_rocne_zuctovanie_A5_0718.indd VYSVETLENIE K VÝPOČTU VÝSLEDKU ROČNÉHO ZÚČTOVANIA POISTNÉHO ZA ROK 2017 Union zdravotná poisťovňa má záujem na tom, aby ste čo najľahšie porozumeli, ako sme dospeli k výsledku vášho ročného zúčtovania

Podrobnejšie

1 Rekurencie este raz riesenia niektorych rekurencii z cvik. mame danu rekurenciu napr T (n) = at ( n b ) + k. idea postupu je postupne rozpisovat cle

1 Rekurencie este raz riesenia niektorych rekurencii z cvik. mame danu rekurenciu napr T (n) = at ( n b ) + k. idea postupu je postupne rozpisovat cle 1 Rekurencie este raz riesenia niektorych rekurencii z cvik. mame danu rekurenciu napr at b + k. idea postupu je postupne rozpisovat cleny T b... teda T b = at + 1... dokym v tom neuvidime nejaky tvar

Podrobnejšie

Dobývanie znalostí

Dobývanie znalostí Dobývanie znalostí Vranec Maroš, Lučanský Ján Zadanie Predikcia pozície internetových stránok na kľúčové slovo vo vyhľadávači Google* * www.google.cz * site:cz Využitie Pri SEO (Search Engine Optimization)

Podrobnejšie

Základné stochastické procesy vo financiách

Základné stochastické procesy vo financiách Technická Univerzita v Košiciach Ekonomická fakulta 20. Január 2012 základné charakteristiky zmena hodnoty W t simulácia WIENEROV PROCES základné charakteristiky základné charakteristiky zmena hodnoty

Podrobnejšie

Novinky programu MSklad

Novinky programu MSklad Novinky v programe MSklad 1.51 Poznámka v receptúre V receptúre je možné po novom pripísať ku každej položke poznámku, ktorá sa potom zobrazí pri tlači delenej žiadanky a voliteľne tiež pri tlači komplexnej

Podrobnejšie

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Vymenujte základné body fyzikálneho programu ktoré určujú metodológiu fyziky pri štúdiu nejakého fyzikálneho systému Ako vyzerá pohybová rovnica pre predpovedanie budúcnosti častice v mechanike popíšte,

Podrobnejšie

Microsoft Word - zapis-predmetov-AiS

Microsoft Word - zapis-predmetov-AiS Zápis predmetov do AiS na aktuálny akademický rok Pred zápisom predmetov Vám odporúčame pozorne si prečítať študijný plán pre Váš študijný program. Môžete si ho zobraziť v AiSe kliknutím na "Študijné programy"

Podrobnejšie

Paralelné algoritmy, cast c. 3

Paralelné algoritmy, cast c. 3 Paralelné algoritmy, čast č. 3 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 3 Paralelné algoritmy,

Podrobnejšie

Čiastka 136/2004 (323 - príloha 2)

Čiastka 136/2004 (323 - príloha 2) BEZPEČNOSTNÝ DOTAZNÍK POD NI KA TE A (meno a priez vis ko oso by, kto rá vy pĺ ňa la bez peč nost ný do taz ník, tel. kon takt) (meno a priez vis ko oso by, kto rá je po ve re ná pre kon takt s NBÚ, tel.

Podrobnejšie

Microsoft Word - mikles_holik.doc

Microsoft Word - mikles_holik.doc TRIESKOVÉ A BEZTRIESKOVÉ OBRÁBANIE DREVA 006. - 4. 0. 006 95 ŠTÚDIUM GEOMETRIE NOŽOV A KINEMATIKY ODVETVOVACEJ HLAVICE LESNÉHO STROJA Mila Mikleš - Já Holík Abstract Is is usually techical roblem to fid

Podrobnejšie

Čiastka 205/2004

Čiastka 205/2004 Strana 4282 Zbierka zákonov č. 481/2004 Čiastka 205 481 o zvý še ní sumy za o pat ro va cie ho prí spev ku Vlá da pod a 4 ods. 4 zá ko na č. 236/1998 Z. z. o za o pat ro va com prí spev ku v zne ní zá

Podrobnejšie

Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in

Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,

Podrobnejšie

Operačná analýza 2

Operačná analýza 2 Krivky (čiary) Krivku môžeme definovať: trajektória (dráha) pohybujúceho sa bodu, jednoparametrická sústava bodov charakterizovaná určitou vlastnosťou,... Krivky môžeme deliť z viacerých hľadísk, napr.:

Podrobnejšie

Snímka 1

Snímka 1 Fyzika - prednáška 8 Ciele 3. Kmity 3.1 Netlmený harmonický kmitavý pohyb 3. Tlmený harmonický kmitavý pohyb Zopakujte si Výchylka netlmeného harmonického kmitavého pohybu je x = Asin (ω 0 t + φ 0 ) Mechanická

Podrobnejšie

Základy automatického riadenia - Prednáška 2

Základy automatického riadenia - Prednáška 2 Základy automatického riadenia Predná²ka 2 doc. Ing. Anna Jadlovská, PhD., doc. Ing. Ján Jadlovský, CSc. Katedra kybernetiky a umelej inteligencie Fakulta elektrotechniky a informatiky Technická univerzita

Podrobnejšie

Slide 1

Slide 1 SÚSTAVA TRANSF. VZŤAHY Plošné, objemové element Polárna Clindrická rcos rsin rcos r sin z z ds rddr dv rddrdz rcossin Sférická r sin sin dv r sin drd d z rcos Viacrozmerné integrál vo fzike Výpočet poloh

Podrobnejšie

vopredposv_noty_iba

vopredposv_noty_iba BOŽSKÁ SLUŽBA VOPRED POSVÄTENÝCH DAROV ff k kkkki A - men. ff k k k kz e k fk j k Te - ne, zmi - luj s. - ne, zmi - luj s. ff k kkkz ek s k fkj k kkkki 1. - be, - ne. A - men. f j j j j j j j k k k k Mo-j

Podrobnejšie

Pracovný postup pre vypĺňanie údajov elektronického formulára IŠIS pre spravodajskú jednotku 1

Pracovný postup pre vypĺňanie údajov elektronického formulára IŠIS pre spravodajskú jednotku 1 Pracovný postup pre vypĺňanie údajov elektronického formulára IŠIS pre spravodajskú jednotku 1 Prihláste sa do aplikácie pomocou prihlasovacích údajov pre spravodajskú jednotku. Link na aplikáciu: http://isis.statistics.sk/

Podrobnejšie

Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice.

Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice. Numerické riešenie všeobecnej (klasickej) DMPK rovnice. J. Brndiar, R. Derian, P. Markos 11.6.27 1 Úvod Vodivost a transfér matica DMPK vs. zovšeobecnená DMPK rovnica 2 Numerické riešenie Ciel e Predpríprava

Podrobnejšie

Čísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a

Čísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a Čísla 9 89. Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: ( a+ b) ( a b) + b ( a+ b) b 9 ( ) ( ) ( ) a+ b a b + b a+ b b 9 ( a b ) + ab + b b 9 a b + ab + b 9 a + ab + b 9 a+ b 9

Podrobnejšie

16 Franck-Hertz.doc

16 Franck-Hertz.doc Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM III Úloha č.: 16 Název: Meranie rezonančného a ionizačného potenciálu ortuti. Franck-Herzov pokus Vypracoval: Viktor Babjak...stud.

Podrobnejšie

1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d

1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i

Podrobnejšie

Teória pravdepodobnosti Zákony velkých císel

Teória pravdepodobnosti Zákony velkých císel 10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia

Podrobnejšie

Tiažové zrýchlenie normálne tiažové zrýchlenie skutočné tiažové zrýchlenie tiažové anomálie Rovnica geoidu 2 ( 1 3 ) + M κ A + B W = κ + C sin ψ 3 l 2

Tiažové zrýchlenie normálne tiažové zrýchlenie skutočné tiažové zrýchlenie tiažové anomálie Rovnica geoidu 2 ( 1 3 ) + M κ A + B W = κ + C sin ψ 3 l 2 normáln tižové zrýchlni skutočné tižové zrýchlni tižové nomáli Rovnic goidu ( ) κ A B W κ C sin ψ l l cos 4l κ ( B A) cos ψ cos λ ω l ψ Aroximáci: Zm j rotčné tlso, sloštné n óloch, má ribližn tvr gul,

Podrobnejšie

ZvukPostup

ZvukPostup Postup merania B. Trpišová, J. Kúdelčík Úlohy: 1. Generovanie signálu 2. nalýza grafu signálu. Monofrekvenčný zvuk B. Rázy 3. Meranie rýchlosti zvuku vo vzduchu. Meranie rýchlosti zvuku z oneskorenia zvukového

Podrobnejšie

Čiastka 161/2004

Čiastka 161/2004 Strana 3746 Zbierka zákonov č. 379/2004 Čiastka 161 379 NA RIA DE NIE VLÁ DY Slo ven skej re pub li ky zo 16. júna 2004, kto rým sa mení a do pĺ ňa na ria de nie vlá dy Slo ven skej re pub li ky č. 199/2002

Podrobnejšie

Oceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava

Oceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava Oceňovanie amerických opcií p. 1/17 Oceňovanie amerických opcií Beáta Stehlíková Finančné deriváty, FMFI UK Bratislava Oceňovanie amerických opcií p. 2/17 Európske a americké typy derivátov Uvažujme put

Podrobnejšie

Microsoft Word - typ_S_1_Priklad.doc

Microsoft Word - typ_S_1_Priklad.doc Ročné zúčtovanie zdravotného poistenia typ S Pokyny na vyplnenie Tlačivo typu S vypĺňa poistenec so súbehom viacerých činností bez zmeny sadzby poistného. Ide o súbehy: zamestnanec u viacerých zamestnávateľov

Podrobnejšie

8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru

8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru 8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte

Podrobnejšie

eKasa

eKasa Používateľská príručka Overenie evidencie dokladu v systéme e-kasa web Systém e-kasa modul OPD web pre: : Finančná správa Verzia: 1.6 Dátum: 27.03.2019 OBSAH Základné informácie o spoločnosti... Chyba!

Podrobnejšie

Stravné - přecenění

Stravné - přecenění Vytvorenie a nastavenie novej kategórie pre Obedy zadarmo pre Materskú školu Platí pre verziu programu Stravné 4.61 a 4.62 POZOR! Postup pre jedálne ZÁKLADNÝCH ŠKÔL, ktoré majú povinnosť sledovať dotácie

Podrobnejšie