9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU

Veľkosť: px
Začať zobrazovať zo stránky:

Download "9.1 MOMENTY ZOTRVACNOSTI \(KVADRATICKÉ MOMENTY\) A DEVIACNÝ MOMENT PRIEREZU"

Prepis

1 Učebný cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly by ste mali ovládať: Charakteristiku kvadratických momentov prierezových plôch. Ako je definovaný kvadraticky moment plochy k osi a k pólu. Ako je definovaný deviačný moment plochy k súradnicovým osiam. Definíciu Steinerovej vety a jej použitie. Čo sú to hlavné (centrálne) momenty zotrvačnosti (kvadratické momenty) prierezovej plochy. Čo sú to centrálne osi zotrvačnosti prierezovej plochy. Ku ktorým osiam je deviačný moment plochy nulový. Ako sa určia kvadratické momenty plochy k natočeným osiam. Matematické vyjadrenie kvadratických momentov plôch pre základné typy prierezov (obdĺžnik, štvorec, kruh, medzikruh) Ako možno určiť polohu ťažiska plochy prierezu pomocou statických momentov. Pri riešení základných prípadov namáhania - ohybu a krútenia - narazíme na určité typy plošných integrálov, ktoré nazveme momentovými charakteristikami prierezu. Preto sa nimi budeme teraz zaoberať podrobnejšie. 9.1 MOMENTY ZOTRVAČNOSTI (KVADRATICKÉ MOMENTY) A DEVIAČNÝ MOMENT PRIEREZU Uvažujeme všeobecný rovinný prierez, ktorého plocha je S (obr.9.1). Obr.9.1 Kvadratické momenty plochy Vybratá elementárna plôška ds je vzdialená o hodnotu súradnicového systému. od počiatku vzťažného 116

2 Moment zotrvačnosti prierezu (kvadratický moment prierezovej plochy) S k osi z, resp. y je definovaný vzťahom Polárny moment zotrvačnosti (kvadratický moment) plochy S k pólu O je definovaný vzťahom po dosadení za = y 2 + z 2 bude Keďže veličiny z 2, y 2 a sú vždy kladné, sú aj všetky momenty zotrvačnosti (kvadratické momenty) kladné a majú základný rozmer [m 4 ]. Deviačný moment plochy S je definovaný vzťahom Z hore uvedenej rovnice vyplýva, že deviačný moment môže byť kladný, záporný alebo nulový. Deviačný moment plochy S k osiam z a y je nulový, ak aspoň jedna z daných osí je osou symetrie prierezu. Z definície plošných integrálov vyplýva, že ak rozdelíme prierez na niekoľko častí, bude sa celkový moment zotrvačnosti alebo deviačný moment rovnať súčtu príslušných momentov týchto častí, prirodzene, k tým istým osiam. Teda 9.2 STEINEROVA VETA Pomocou Steinerovej vety určíme momentové charakteristiky prierezu k posunutým (rovnobežným) osiam prierezu (obr.9.2). Obr.9.2 Steinerova veta 117

3 Moment zotrvačnosti napr. k osi z plochy S je definovaný vzťahom Je zrejmé, že, preto vyjadruje statický moment plochy S k osi predchádzajúcej ťažiskom. Podobne možno určiť moment zotrvačnosti k osi y Podobne moment k posunutým osiam je kde Potom Hore uvedené rovnice sú matematickým vyjadrením Steinerovej vety, ktorá hovorí: Momentové charakteristiky prierezu (I z', I y', D z'y' ) k posunutým osiam sú rovné súčtu momentovej charakteristiky (I z, I y, D zy ) k osiam, ktoré prechádzajú ťažiskom prierezu a prírastku, daným súčinom veľkosti plochy prierezu a štvorca posunutia osí (pri deviačnom momente je to súčin obidvoch posunutí osí). 9.3 MOMENTY ZOTRVAČNOSTI K NATOČENÝM OSIAM Momenty zotrvačnosti a deviačný moment k natočeným súradniciam z a y sú (obr.9.3) Obr.9.3 Kvadratický moment plochy k natočenej osi 118

4 Pri transformácii pôvodného súradnicového systému z, y natočením o uhol z', y' platí transformačný vzťah do novej polohy Použitím tohoto transformačného vzťahu momenty zotrvačnosti a deviačný moment bude Uvedené rovnice možno ešte upraviť pomocou vzťahov: na tvar Tieto rovnice sú podobné rovniciam pre a pri rovinnej napätosti. V týchto rovniciach si navzájom zodpovedajú veličiny: Hľadaním extrémnych hodnôt I z' a I y', dostaneme hlavné momenty zotrvačnosti 119

5 Osi zodpovedajúce hlavným momentom zotrvačnosti nazývame hlavnými osami zotrvačnosti prierezu. Podobne ako pri rovinnej napätosti, môžeme momenty zotrvačnosti a deviačné momenty znázorniť Mohrovou kružnicou v súradniciach I a D zy. Hlavné momenty zotrvačnosti k osiam, ktoré prechádzajú ťažiskom prierezu, nazývame hlavnými centrálnymi momentmi zotrvačnosti prierezu. Polomer zotrvačnosti, napr. k osi z je definovaný vzťahom kde I z je moment zotrvačnosti plochy S k osi z. Rozmer polomeru zotrvačnosti je dĺžkový a značí takú vzdialenosť od osi z, že plocha S sústredená v tejto vzdialenosti má moment zotrvačnosti I z = i z 2 S. Je teda zrejmé, že najväčšie a najmenšie hodnoty polomeru zotrvačnosti pre osi prechádzajúce jedným bodom budú prislúchať hlavným osiam zotrvačnosti. Príklad 1 Pre obdĺžnikový prierez so stranami b h určite hlavné centrálne momenty zotrvačnosti (obr.9.4). Obr.9.4 Obdĺžnikový prierez Riešenie Hlavné centrálne momenty zotrvačnosti určíme podľa hore uvedených vzťahov. Pretože poloha ťažiska je jednoznačne daná, potrebujeme ešte určiť momenty zotrvačnosti a deviačný moment k dvom navzájom kolmým osiam prechádzajúcim ťažiskom prierezu I z a I y. Podľa definície [m 4 ] [m 4 ] Potom centrálne hlavné momenty zotrvačnosti sú: 120

6 Z výsledku je zrejmé, že osi z a y sú hlavnými centrálnymi osami zotrvačnosti prierezu. V prípade štvorcového prierezu b = h = a bude Príklad 2 Určite momenty zotrvačnosti obdĺžnikového prierezu k osiam z a y, ktoré sú vodorovne posunuté od centrálnych osí zotrvačnosti prierezu o hodnotu a (obr.9.5). Obr.9.5 Posunuté osi Riešenie Momenty zotrvačnosti (kvadratické momenty plochy prierezu) možno určiť priamo z definície alebo pomocou Steinerovej vety. Použitím Steinerovej vedy dostaneme: Príklad 3 Určite hlavné centrálne momenty zotrvačnosti medzikruhového prierezu podľa obr

7 Obr.9.6 Medzikruhový prierez Riešenie Pre kruhový prierez platí: Polárny moment zotrvačnosti medzikruhu bude rovný rozdielu polárneho momentu prierezu priemeru D a vybratej kruhovej časti prierezu d Potom Je zrejmé, že I z a I y sú zároveň hlavnými centrálnymi momentmi zotrvačnosti prierezu. Každá os predchádzajúca ťažiskom medzikruhového prierezu je hlavnou centrálnou osou zotrvačnosti. V prípade plného prierezu (d = 0) bude 122

8 Príklad 4 Určite hlavné centrálne momenty zotrvačnosti rovnoramenného L - valcovaného profilu (obr.9.7). Obr.9.7 Zložený profil Riešenie 1. Určime polohu ťažiska prierezu. 2. Určíme I z', I y' a D z'y' k zvoleným navzájom kolmým osiam z a y, ktoré prechádzajú ťažiskom prierezu. 3. Určime hlavné centrálne momenty zotrvačnosti I 1, I Polohu ťažiska prierezu určíme zo statických momentov plochy prierezu ku vhodne zvoleným osiam z a y U z a U y : 2. pričom U z1 a U z2 sú statické momenty plôch S 1 = hb a S 2 = b(h-b). Vzhľadom na symetriu prierezu je zrejmé, že y T = z T Moment zotrvačnosti k osi z podľa Steinerovej vety bude (obr.9.8): 123

9 Obr.9.8 Kvadratické momenty L profilu Tým je I z' určený. Vzhľadom na symetriu prierezu platí: Deviačný moment pretože deviačné momenty plôch S 1 a S 2 k osiam prechádzajúcim ťažiskami časti prierezu sú rovné nule. 3. Hlavné centrálne momenty sú: 124

10 Možno dokázať, že I. centrálna os zotrvačnosti zviera s osou z uhol 45 a II. Centrálna os je na ňu kolmá. Poznámka: Podobným spôsobom určujeme momentové charakteristiky aj pre iné typy zložených plôch. Pre najčastejšie používané prierezy valcovaných profilov (C, I, L a iné) sú momenty zotrvačnosti prierezov stanovené v strojníckych tabuľkách. 125

Operačná analýza 2

Operačná analýza 2 Krivky (čiary) Krivku môžeme definovať: trajektória (dráha) pohybujúceho sa bodu, jednoparametrická sústava bodov charakterizovaná určitou vlastnosťou,... Krivky môžeme deliť z viacerých hľadísk, napr.:

Podrobnejšie

Operačná analýza 2

Operačná analýza 2 Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami

Podrobnejšie

Obsah

Obsah Obsah str. 1. Základné pojmy pružnosti a pevnosti 1.1 Predmet a význam náuky o pružnosti a pevnosti 3 1.2 Z histórie oboru 3 1.3 Základné predpoklady o materiáli 4 1.4 Vonkajšie a vnútorné sily 5 1.5 Normálové

Podrobnejšie

Slide 1

Slide 1 SÚSTAVA TRANSF. VZŤAHY Plošné, objemové element Polárna Clindrická rcos rsin rcos r sin z z ds rddr dv rddrdz rcossin Sférická r sin sin dv r sin drd d z rcos Viacrozmerné integrál vo fzike Výpočet poloh

Podrobnejšie

FYZIKA I Rámcove otázky 1998

FYZIKA I Rámcove otázky 1998 Otázky k teoretickej skúške z predmetu Fyzika, ZS 2014/2015 Rámcové otázky: 1. Odvodiť vzťahy pre dráhu, rýchlosť a zrýchlenie pohybu hmotného bodu po priamke,(rovnomerný a rovnomerne zrýchlený pohyb).

Podrobnejšie

Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy

Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).

Podrobnejšie

Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií

Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Ďalšie vlastnosti goniometrických funkcií Na obrázku máme bod B na jednotkovej kružnici, a rovnobežne s y-ovou osou bodom B vznikol pravouhlý trojuholník. Jeho prepona je polomer kružnice má veľkosť 1,

Podrobnejšie

Programátorské etudy - Pascal

Programátorské etudy - Pascal MODIFIKÁCIA OBRÁZKOV ÚLOHA NA HODINU Dorobte projekt Modifikácia obrázkov, ktorý je zameraný na prácu s grafickou plochou ako dvojrozmerným poľom. Modifikáciu 13 máte predpripravenú. Doprogramujte ďalšie

Podrobnejšie

2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom

2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom 2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod

Podrobnejšie

Microsoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc

Microsoft Word - 6 Výrazy a vzorce.doc 6 téma: Výrazy a vzorce I Úlohy na úvod 1 1 Zistite definičný obor výrazu V = 4 Riešte sústavu 15 = 6a + b, = 4a c, 1 = 4a + b 16c Rozložte na súčin výrazy a) b 4 a 18, b) c 5cd 10c d +, c) 6 1 s + z 4

Podrobnejšie

Microsoft Word - veronika.DOC

Microsoft Word - veronika.DOC Telesá od Veroniky Krauskovej z 3. B Teleso uzavretá obmedzená časť priestoru Mnohosten je časť priestoru, ktorá je ohraničená mnohouholníkmi. Uhlopriečky, ktoré patria do niektorej steny sú stenové uhlopriečky,

Podrobnejšie

Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk

Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovsk Zeszyty Naukowe PWSZ, Nowy Sącz 2013 Konštrukcie magických obdĺžnikov Marián Trenkler Faculty of Education, Catholic University in Ružomberok Hrabovská cesta 1, 034 01 Ružomberok, Slovakia e-mail: marian.trenkler@ku.sk

Podrobnejšie

8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru

8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru 8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte

Podrobnejšie

Prehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3;

Prehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3; Prehľad matematiky I. ROZDELENIE ČÍSEL 1. Prirodzené N: 1, 2, 3, 4,... a. kladné: 8; 6,3; 5; 3 4 2. Celé Z:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... b. záporné: 3; 3,4; 7; 11 3. Reálne R: 6,4; 7, 5, 6 ; 1, 5,87;...

Podrobnejšie

Matematika 2 - cast: Funkcia viac premenných

Matematika 2 - cast: Funkcia viac premenných Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Spojitosť

Podrobnejšie

Snímka 1

Snímka 1 Fyzika - prednáška 12 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.4 Stacionárne magnetické pole 5.5 Elektromagnetické pole Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode

Podrobnejšie

O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky

O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohladu metódy konecných prvkov konference pro studenty matematiky O možnosti riešenia deformácie zemského povrchu z pohľadu metódy konečných prvkov 19. konference pro studenty matematiky Michal Eliaš ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Katedra matematiky 7. 9. 6. 2011

Podrobnejšie

Teória pravdepodobnosti Zákony velkých císel

Teória pravdepodobnosti Zákony velkých císel 10. Zákony veľkých čísel Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 6. apríla 2014 1 Zákony veľkých čísel 2 Centrálna limitná veta Zákony veľkých čísel Motivácia

Podrobnejšie

III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD.

III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) Matematická analýza IV (ÚMV/MAN2d/10) RNDr. Lenka Halčinová, PhD. III. Diferenciálny počet funkcie viac premenných (Prezentácia k prednáškam, čast B) (ÚMV/MAN2d/10) lenka.halcinova@upjs.sk 11. apríla 2019 3.3 Derivácia v smere, vzt ah diferenciálu, gradientu a smerovej

Podrobnejšie

TABUĽKY STATICKÝCH HODNÔT TRAPEZOVÉ PLECHY T - 50, T - 85 Objednávateľ : Ľuboslav DERER Vypracoval : prof. Ing. Ján Hudák, CSc. Ing. Tatiana Hudáková.

TABUĽKY STATICKÝCH HODNÔT TRAPEZOVÉ PLECHY T - 50, T - 85 Objednávateľ : Ľuboslav DERER Vypracoval : prof. Ing. Ján Hudák, CSc. Ing. Tatiana Hudáková. TABUĽKY STATICKÝCH HODNÔT TRAPEZOVÉ PLECHY T - 50, T - 85 Objednávateľ : Ľuboslav DERER Vypracoval : prof. Ing. Ján Hudák, CSc. Ing. Tatiana Hudáková. Košice, 006 STATICKÝ VÝPOČET ÚNOSNOSTI TRAPEZOVÝCH

Podrobnejšie

E/ECE/324

E/ECE/324 E/ECE/324 E/ECE/TRANS/505 11. júl 2016 Rev.1/Add.98/Rev.3/Amend.2 D O HO D A O PRIJATÍ JEDNOTNÝCH TECHNICKÝCH PREDPISOV PRE KOLESOVÉ VOZIDLÁ, VYBAVENIE A ČASTI, KTORÉ SA MÔŽU MONTOVAŤ A/ALEBO POUŽÍVAŤ

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c

Podrobnejšie

Zadanie_1_P1_TMII_ZS

Zadanie_1_P1_TMII_ZS Grafické riešenie mechanizmov so súčasným pohybom DOMÁE ZDNIE - PRÍKLD č. Príklad.: Určte rýchlosti a zrýchlenia bodov,, a D rovinného mechanizmu na obrázku. v danej okamžitej polohe, ak je daná konštantná

Podrobnejšie

Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006

Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 1. 3. marca 2006 2. 10. marca 2006 c RNDr. Monika Molnárová, PhD. Obsah 1 Aritmetické vektory a matice 4 1.1 Aritmetické vektory........................

Podrobnejšie

Hranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče

Hranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče Hranoly ( hodín) September - 7 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 65 hodín/rok Tematický celok Počet hodín 6 Téma Obsahový štandard Výkonový štandard Opakovanie

Podrobnejšie

T-12

T-12 TABUĽKY STATICKÝCH HODNÔT A ÚNOSNOSTI TRAPÉZOVÉ PLECHY T- Ojednávateľ : Ľuoslav DÉRER, riaditeľ spoločnosti Vypracoval : prof. Ing. Ján Hudák, CSc. Ing. Tatiana Hudáková. Košice, 06 STATICKÝ VÝPOČET ÚNOSNOSTI

Podrobnejšie

Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 2013

Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 2013 Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Košice 013 Technická Univerzita Košice Matematicko počítačové modelovanie Vysokoškolská učebnica Jozef Džurina Blanka

Podrobnejšie

Snímka 1

Snímka 1 Fyzika - prednáška 8 Ciele 3. Kmity 3.1 Netlmený harmonický kmitavý pohyb 3. Tlmený harmonický kmitavý pohyb Zopakujte si Výchylka netlmeného harmonického kmitavého pohybu je x = Asin (ω 0 t + φ 0 ) Mechanická

Podrobnejšie

SRPkapitola06_v1.docx

SRPkapitola06_v1.docx Štatistické riadenie procesov Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním 6-1 6 Regulačné diagramy na reguláciu porovnávaním Cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly budete vedieť: čo sú regulačné

Podrobnejšie

M59dkZ9ri10

M59dkZ9ri10 MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA Komentáre a riešenia úloh domáceho kola pre žiakov základných škôl a nižších ročníkov osemročných gymnázií Kategória Z9 59 ročník Školský rok 2009/2010 KATEGÓRIA Z9 Z9 I 1 Dostal

Podrobnejšie

STATIKA OKENNÝCH KONŠTRUKCIÍ V priebehu užívania pôsobia na okenné konštrukcie nasledovné zaťaženia: zaťaženie od hmotnosti zaťaženie vetrom prídavné

STATIKA OKENNÝCH KONŠTRUKCIÍ V priebehu užívania pôsobia na okenné konštrukcie nasledovné zaťaženia: zaťaženie od hmotnosti zaťaženie vetrom prídavné STATIKA OKENNÝCH KONŠTRUKCIÍ V priebehu užívania pôsobia na okenné konštrukcie nasledovné zaťaženia: zaťaženie od hmotnosti zaťaženie vetrom prídavné zaťaženia (zaťaženia pri zatváraní, otváraní, údržbe,

Podrobnejšie

Microsoft Word - MAT_2018_1 kolo.docx

Microsoft Word - MAT_2018_1 kolo.docx Gymnázium Pavla Horova, Masarykova 1, Michalovce Príklady na prijímacie skúšky do 1. ročníka konané dňa 14. mája 2018 MATEMATIKA V úlohách 1) až 8) je práve jedna odpoveď správna. Túto správnu odpoveď

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkac

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkac SK MTEMTIKÁOLYMPIÁD skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z9 1. Vo všetkých deviatich políčkach útvaru majú byť vyplnené prirodzené čísla tak, aby platilo:

Podrobnejšie

Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV

Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV Republika Srbsko MINISTERSTVO OSVETY, VEDY A TECHNOLOGICKÉHO ROZVOJA ÚSTAV PRE HODNOTENIE KVALITY VZDELÁVANIA A VÝCHOVY VOJVODINSKÝ PEDAGOGICKÝ ÚSTAV ZÁVEREČNÁ SKÚŠKA NA KONCI ZÁKLADNÉHO VZDELÁVANIA A

Podrobnejšie

Telesá Príklady: 1) Vypočítajte objem a povrch pravidelného štvorbokého ihlana ak a = 10 cm s uhol ACV = 70 2) Kváder má rozmery a = 4 cm, b = 3 cm, c

Telesá Príklady: 1) Vypočítajte objem a povrch pravidelného štvorbokého ihlana ak a = 10 cm s uhol ACV = 70 2) Kváder má rozmery a = 4 cm, b = 3 cm, c Príklady: 1) Vypočítajte objem a povrch pravidelného štvorbokého ihlana ak a = 10 cm s uhol ACV = 70 2) Kváder má rozmery a = 4 cm, b = 3 cm, c = 5 cm. Vypočítajte uhol α medzi podstavovou a telesovou

Podrobnejšie

Ohyb svetla

Ohyb svetla Difrakcia (OHYB SVETLA NA PREKÁŽKACH ) Odpoveď: Nepíš a rozmýšľaj Svetlo aj zvuk sú vlnenie, ale napriek tomu sú medzi nimi orovské rozdiely. Počujeme aj to, čo sa deje za rohom Čo sa deje za rohom nevidíme.

Podrobnejšie

SK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak,

SK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/ ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak, SK MATEMATICKA OLYMPIADA 2010/2011 60. ročník MO Riešenia úloh domáceho kola kategórie Z4 1. Doplň do prázdnych políčok čísla od 1 do 7 každé raz tak, aby matematické operácie boli vypočítané správne.

Podrobnejšie

Microsoft Word - mpicv11.doc

Microsoft Word - mpicv11.doc 1. Vypočítajte obsah plochy ohraničenej súradnicovými osami a grafom funkcie y = x. a) vypočítame priesečníky grafu so súradnicovými osami x=... y = = y =... = x... x= priesečníku grafu funkcie so ; a

Podrobnejšie

1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d

1. KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1. Nájdite výsledok operácie v tvare x+yi, kde x, y R. a i (5 2i)(4 i) b. i(1 + i)(1 i)(1 + 2i)(1 2i) (1 7i) c. (2+3i) a+bi d KOMPLEXNÉ ČÍSLA Nájdite výsledok operácie v tvare xyi, kde x, y R 7i (5 i)( i) i( i)( i)( i)( i) ( 7i) (i) abi a bi, a, b R i(i) 5i Nájdite x, y R také, e (x y) i(x y) = i (ix y)(x iy) = i y ix x iy i

Podrobnejšie

Čísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a

Čísla Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: 2 ( a+ b) ( a b) + 2b ( a+ 2b) 2b = 49 RIEŠENIE ( ) ( ) ( ) 2 a+ b a Čísla 9 89. Nájdite všetky dvojice prirodzených čísiel, ktoré vyhovujú rovnici: ( a+ b) ( a b) + b ( a+ b) b 9 ( ) ( ) ( ) a+ b a b + b a+ b b 9 ( a b ) + ab + b b 9 a b + ab + b 9 a + ab + b 9 a+ b 9

Podrobnejšie

Príloha č

Príloha č SKÚŠOBNÉ SITÁ Prvá časť Všeobecné ustanovenia, vymedzenie meradiel a spôsob ich metrologickej kontroly. Táto príloha sa vzťahuje na skúšobné sitá (ďalej len sito ), ktoré sa používajú ako určené meradlá

Podrobnejšie

Priebeh funkcie

Priebeh funkcie Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť

Podrobnejšie

9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém

9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém 9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty. Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych

Podrobnejšie

Operačná analýza 2

Operačná analýza 2 Niektoré náhodné procesy majú v praxi veľký význam, pretože sa často vyskytujú, napr.: Poissonov proces proces vzniku a zániku Wienerov proces stacionárne procesy,... Poissonov proces je homogénny Markovov

Podrobnejšie

Microsoft Word - a2f6-4f69-ca8b-718e

Microsoft Word - a2f6-4f69-ca8b-718e Charakteristika vyučovacieho predmetu Predmet matematika v nižšom strednom vzdelávaní je prioritne zameraný na budovanie základov matematickej gramotnosti a na rozvíjanie kognitívnych oblastí - vedomosti,

Podrobnejšie

(ıkolské kolo-PYT)

(ıkolské kolo-PYT) Súťažné úlohy školského kola. Školský rok 2006/2007. Kategória P 3 1. Súčet dvoch čísel je 156. Prvý sčítanec je rozdiel čísel 86 a 34. Aký je druhý sčítanec? 2. Vypočítaj: 19 18 + 17 16 + 15 14 = 3. V

Podrobnejšie

Funkcie viac premenných

Funkcie viac premenných Funkcie viac premenných January 21, 215 Regulárne zobrazenia Nech je zobrazenie X = Φ(T) dané rovnicami: x 1 = ϕ 1 (t 1, t 2,, t n), x 2 = ϕ 2 (t 1, t 2,, t n), x n = ϕ n(t 1, t 2,, t n), a ak majú funkcie

Podrobnejšie

59. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 2017/2018 Kategória E krajské kolo Texty úloh 1. Premiestnenie polystyrénovej kocky Riešenie: a) Hmotn

59. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 2017/2018 Kategória E krajské kolo Texty úloh 1. Premiestnenie polystyrénovej kocky Riešenie: a) Hmotn 59. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 07/08 Kategória E krajské kolo Texty úloh. Premiestnenie polystyrénovej kocky a) Hmotnosť kocky m = a 3 ρ. Pre ρ = 40,0 mg kg cm3 = 40,0 m3 máme m 40 kg.

Podrobnejšie

Tlak_tah_ohyb_EN _pre študentov.xls

Tlak_tah_ohyb_EN _pre študentov.xls ávrh a posúenie prierezu namáhaného tlakom a ohybom: amáhanie ťahom a ohybom VVE - prevláajúi ťah, V. Oblasť Prierezové sily: M s 12,53 km l eff 6,00 m s 198,68 k (tlak) l l 6,00 m sqp 148,51 k - kvázi

Podrobnejšie

Matematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 9. MATEMATIKA SZLOVÁK NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBEL

Matematika szlovák nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 9. MATEMATIKA SZLOVÁK NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBEL Matematika szlovák nyelven középszint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 017. május 9. MATEMATIKA SZLOVÁK NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Dôležité pokyny

Podrobnejšie

Microsoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc

Microsoft Word - Algoritmy a informatika-priesvitky02.doc 3. prednáška Teória množín I množina operácie nad množinami množinová algebra mohutnosť a enumerácia karteziánsky súčin Priesvtika: 1 Definícia množiny Koncepcia množiny patrí medzi základné formálne prostriedky

Podrobnejšie

tkacikova

tkacikova Apollonius z Perge (história matematiky) Jana Tkačíková, 4. roč. Mat-NV Apollonius z Perge Apollonius z Perge (približne 262-190 p.n.l.) bol grécky geometer a astronóm, je známy ako jeden z najvýznamnejších

Podrobnejšie

PowerPoint Presentation

PowerPoint Presentation Vymenujte základné body fyzikálneho programu ktoré určujú metodológiu fyziky pri štúdiu nejakého fyzikálneho systému Ako vyzerá pohybová rovnica pre predpovedanie budúcnosti častice v mechanike popíšte,

Podrobnejšie

ZBIERKA ZÁKONOV SLOVENSKEJ REPUBLIKY Ročník 2000 Vyhlásené: Časová verzia predpisu účinná od: do: Obsah tohto dokumen

ZBIERKA ZÁKONOV SLOVENSKEJ REPUBLIKY Ročník 2000 Vyhlásené: Časová verzia predpisu účinná od: do: Obsah tohto dokumen ZBIERKA ZÁKONOV SLOVENSKEJ REPUBLIKY Ročník 2000 Vyhlásené: 30. 6. 2000 Časová verzia predpisu účinná od: 1. 1.2010 do: 30. 6.2018 Obsah tohto dokumentu má informatívny charakter. 206 VYHLÁŠKA Úradu pre

Podrobnejšie

7-dvojny_integral

7-dvojny_integral 7 DVOJNÝ INTEGRÁL A JEHO APLIKÁCIE 7 Otázk Dfinujt pojm intgráln súčt Dfinujt pojm vojný intgrál Dfinujt pojm strná honota funkci prmnných na množin Napíšt ako transformujt vojný intgrál pomocou polárnch

Podrobnejšie

Snímka 1

Snímka 1 Fyzika - prednáška 11 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.2 Elektrostatické pole 5.3 Jednosmerný elektrický prúd Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode

Podrobnejšie

Informačné technológie

Informačné technológie Informačné technológie Piatok 15.11. 2013 Matúš Péči Barbora Zahradníková Soňa Duchovičová Matúš Gramlička Začiatok/Koniec Z K Vstup/Výstup A, B Načítanie vstupných premenných A, B resp. výstup výstupných

Podrobnejšie

UČEBNÉ OSNOVY

UČEBNÉ    OSNOVY UČEBNÉ OSNOVY Predmet: Matematika 8. 9. ročník (ISCED ) Charakteristika predmetu: Učebný predmet matematika na. stupni ZŠ je zameraný na rozvoj matematickej kompetencie tak, ako ju formuloval Európsky

Podrobnejšie

Microsoft Word - MAT_2018_2kolo.docx

Microsoft Word - MAT_2018_2kolo.docx Gymnázium Pavla Horova, Masarykova 1, Michalovce Príklady na prijímacie skúšky do 1. ročníka konané dňa 17. mája 2018 MATEMATIKA V úlohách 1) až 8) je práva jedna odpoveď správna. Túto správnu odpoveď

Podrobnejšie

60. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 2018/2019 kategória E okresné kolo Riešenie úloh 1. Zohrievanie vody, výhrevnosť paliva a) Fosílne pal

60. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 2018/2019 kategória E okresné kolo Riešenie úloh 1. Zohrievanie vody, výhrevnosť paliva a) Fosílne pal 60. ročník Fyzikálnej olympiády v školskom roku 018/019 kategória E okresné kolo Riešenie úloh 1. Zohrievanie vody, výhrevnosť paliva a) Fosílne palivá: uhlie, nafta, olej, zemný plyn. Propán-bután, lieh,

Podrobnejšie

Snímka 1

Snímka 1 OBMEDZENIA A PREKÁŽKY Predpis L 14 I Letiská, hlava 4 Ing. Peter Koščák, PhD. Ochranné pásma letísk Legislatíva Zákon č. 143/1998 Z.z. o civilnom letectve Oddelenie OP letísk a LPZ Zákon č. 50/1976 Zb.

Podrobnejšie

4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p

4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia p 4. Pravidlo ret azenia. Často sa stretávame so skupinami premenných, ktoré zložitým spôsobom závisia od iných skupín premenných. Pravidlo ret azenia pre funkcie viacerých premenných je univerzálna metóda,

Podrobnejšie

Seriál XXXII.II Mechanika, FYKOS

Seriál XXXII.II Mechanika, FYKOS Seriál: Mechanika Úvod Na úvod vás vítam pri čítaní druhej časti seriálu u. Začiatkom druhej série sa ešte raz vrátime k značeniu, kde si rýchlo ukážeme ako fungujú indexy, ktoré nám umožnia písať jednu

Podrobnejšie

Biharmonická rovnica - ciže co spôsobí pridanie jedného laplasiánu

Biharmonická rovnica - ciže co spôsobí pridanie jedného laplasiánu iºe o spôsobí pridanie jedného laplasiánu tyc struna Obsah ƒo je to biharmonická rovnica 2 Malý výlet do teórie pruºnosti 3 Rovnice, okrajové podmienky, rie²enia 4... a kde ostala matematická fyzika? ƒo

Podrobnejšie

Matematický model činnosti sekvenčného obvodu 7 MATEMATICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčnéh

Matematický model činnosti sekvenčného obvodu 7 MATEMATICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčnéh 7 MTEMTICKÝ MODEL ČINNOSTI SEKVENČNÉHO OBVODU Konečný automat predstavuje matematický model sekvenčného obvodu. Konečný automat je usporiadaná pätica = (X, S, Y, δ, λ,) (7.) kde X je konečná neprázdna

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné re SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Dokážte, že kladné reálne čísla a, b, c spĺňajú rovnicu a 4 + b 4 + c 4

Podrobnejšie

MATEMATIKA

MATEMATIKA ÚVOD MATEMATIKA Vzdelávací štandard pre učebný predmet matematika nepredstavuje iba súhrn katalógov, ktoré stanovujú výkony a obsah vyučovacieho predmetu, ale je to predovšetkým program rôznych činností

Podrobnejšie

Microsoft PowerPoint - Prog_p08.ppt

Microsoft PowerPoint - Prog_p08.ppt Štruktúra záznam Operácie s bitovými údajmi 1. Štruktúra záznam zložený typ štruktúry záznam varianty štruktúr záznam reprezentácia štruktúry záznam použitie štruktúry záznam v jazyku C 2. Operácie s bitovými

Podrobnejšie

Kedy sa predné koleso motorky zdvihne?

Kedy sa predné koleso motorky zdvihne? Kedy sa predné koleso motorky zdvihne? Samuel Kováčik Commenius University samuel.kovacik@gmail.com 4. septembra 2013 Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 1 / 23 Bojový plán Čo budeme chcieť

Podrobnejšie

Pocítacové modelovanie - Šírenie vln v nehomogénnom prostredí - FDTD

Pocítacové modelovanie  - Šírenie vln v nehomogénnom prostredí - FDTD Počítačové modelovanie Šírenie vĺn v nehomogénnom prostredí - FDTD Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2016/2017 Úvod Hľadáme riešenia časovo závislej parciálnej diferenciálnej

Podrobnejšie

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY Aplikácia simulačných nástrojov v modelovaní a riadení podaktuovaných mechanick

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY Aplikácia simulačných nástrojov v modelovaní a riadení podaktuovaných mechanick TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY Aplikácia simulačných nástrojov v modelovaní a riadení podaktuovaných mechanických systémov (Príloha D Tutoriál k modelovaniu v SimMechanics)

Podrobnejšie

Práca v programe Tracker Program Tracker je voľne šíriteľný a stiahnuteľný program vytvorený na platforme Open Source Physics (

Práca v programe Tracker Program Tracker je voľne šíriteľný a stiahnuteľný program vytvorený na platforme Open Source Physics ( Práca v programe Tracker Program Tracker je voľne šíriteľný a stiahnuteľný program vytvorený na platforme Open Source Physics (http://www.cabrillo.edu/~dbrown/tracker/). Pre správne fungovanie momentálnej

Podrobnejšie

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y

SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/2010 59. ročník Matematickej olympiády Riešenia úloh IMO 1. Určte všetky funkcie f: R R také, že rovnosť f ( x y ) = f(x) f(y) platí pre všetky x, y R. (Symbol z označuje

Podrobnejšie

Microsoft PowerPoint - Paschenov zakon [Read-Only] [Compatibility Mode]

Microsoft PowerPoint - Paschenov zakon [Read-Only] [Compatibility Mode] Výboje v plynoch, V-A charakteristika Oblasť I. : U => I pri väčšej intenzite poľa (E) je pohyb nosičov náboja k elektródam rýchlejší a tak medzi ich vznikom a neutralizáciou na elektródach uplynie kratší

Podrobnejšie

Verejná konzultácia k článku 18 Nariadenia Komisie (EÚ) 2017/2195, ktorým sa ustanovuje usmernenie o zabezpečovaní rovnováhy v elektrizačnej sústave P

Verejná konzultácia k článku 18 Nariadenia Komisie (EÚ) 2017/2195, ktorým sa ustanovuje usmernenie o zabezpečovaní rovnováhy v elektrizačnej sústave P Verejná konzultácia k článku 18 Nariadenia Komisie (EÚ) 2017/2195, ktorým sa ustanovuje usmernenie o zabezpečovaní rovnováhy v elektrizačnej sústave Predmet konzultácie Predmetom verejnej konzultácie je

Podrobnejšie

MIESTNY ÚRAD MESTSKEJ ČASTI BRATISLAVA - RAČA

MIESTNY ÚRAD MESTSKEJ ČASTI BRATISLAVA - RAČA MESTSKÁ ČASŤ BRATISLAVA-RAČA Materiál na rokovanie Miestneho zastupiteľstva MČ Bratislava-Rača dňa 15.05.2018 Návrh dodatku Štatútu hlavného mesta Slovenskej republiky Bratislavy, ktorý sa týka úpravy

Podrobnejšie

Informačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR

Informačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu

Podrobnejšie

(Pom\371cka k p\370\355prav\354 v\375ukov\351 hodiny s podporou Classroom Managementu \(Matematika\))

(Pom\371cka k p\370\355prav\354 v\375ukov\351 hodiny s podporou Classroom Managementu \(Matematika\)) 1 of 12 20.10.2015 11:19 Pomůcka k přípravě výukové hodiny s podporou Classroom Managementu (Matematika) Obsah knihy: Mnohočleny Procenta Lomené výrazy Mocniny a odmocniny Zlomky Rovnice a soustavy rovnic

Podrobnejšie

Preco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké

Preco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu   v limite, ked sú velké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako

Podrobnejšie

1

1 ADM a logika 5. prednáška Sémantické tablá priesvitka 1 Úvodné poznámky Cieľom dnešnej prednášky je moderná sémantická metóda verifikácie skutočnosti, či formula je tautológia alebo kontradikcia: Metóda

Podrobnejšie

Študent 1. kapitola Maticová algebra I 1.1 Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺp

Študent 1. kapitola Maticová algebra I 1.1 Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺp Študent. kapitola Maticová algebra I. Definícia matice V mnohých prípadoch dáta majú štruktúru dvojrozmernej tabuľky, ktorá má m riadkov a n stĺpcov. Jednoduchý príklad dát tohto druhu je tabuľka, ktorá

Podrobnejšie

Slide 1

Slide 1 Diferenciálne rovnice Základný jazyk fyziky Motivácia Typická úloha fyziky hľadanie časových priebehov veličín, ktoré spĺňajú daný fyzikálny zákon. Určte trajektóriu telesa rt ( )???? padajúceho v gravitačnom

Podrobnejšie

Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič

Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali

Podrobnejšie

Microsoft Word - ecoflex_mr.doc

Microsoft Word - ecoflex_mr.doc MRAMOROVÉ PANELY MR NÁVOD NA MONTÁŽ NÁVOD NA MONTÁŽ A POUŽITIE Montážny návod Inštalácia, elektrické pripojenie a prvé uvedenie do prevádzky môžu vykonávať iba pracovníci so zodpovedajúcou kvalifikáciou.

Podrobnejšie

Axióma výberu

Axióma výberu Axióma výberu 29. septembra 2012 Axióma výberu Axióma VIII (Axióma výberu) ( S)[( A S)(A ) ( A S)( B S)(A B A B = ) ( V )( A S)( x)(v A = {x})] Pre každý systém neprázdnych po dvoch disjunktných množín

Podrobnejšie

Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1

Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 Jozef Kiseľák Sada úloh na precvičenie VIII. 15. máj 2014 A. (a) (b) 1 A Pomocou Charpitovej metódy vyriešte rovnicu. x u x + y u y = u u x y u 2 = xy u u x y 3. u 2 y = u y u 4. u 2 x = u x u u x = B.

Podrobnejšie

Učebné osnovy so vzdelávacím štandardom

Učebné osnovy so vzdelávacím štandardom Učebné osnovy so vzdelávacím štandardom Vzdelávacia oblasť : Matematika a práca s informáciami Názov predmetu : Matematika Časový rozsah výučby : 4 hodiny týždenne, spolu 132 hod. Ročník : prvý Škola :

Podrobnejšie

Microsoft Word - Diskusia11.doc

Microsoft Word - Diskusia11.doc Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky MATEMATIKA - 011 sem vlepiť čiarový kód uchádzača Test obsahuje 30 úloh. Na jeho vypracovanie máte 90 minút. Každá úloha spolu

Podrobnejšie

Microsoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc

Microsoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit ( ) ( 6 ) 6 = 3 () 8 (D) 8 m Závislosť hmotnosti m častice od jej rýchlosti v je vjadrená vzťahom m =, kde m je v c pokojová hmotnosť častice, c je rýchlosť

Podrobnejšie

Statika konštrukcií - prednášky

Statika konštrukcií - prednášky PEDAGOGICKÁ DOKUMENTÁCIA PREDMETU Názov : Statika konštrukcií Identifikačné číslo : B-501205 Garantujúca katedra, ústav : Katedra stavebnej mechaniky, Ústav inžinierskeho staviteľstva Študijný odbor :

Podrobnejšie

gis7 prifuk

gis7 prifuk Kartografické aspekty GIS základné pojmy Kartografické aspekty GIS základné pojmy Referenčný elipsoid Geoid Povrch zeme Referenčný elipsoid Kartografické aspekty GIS základné pojmy Referenčný elipsoid

Podrobnejšie

ÚPLNÉ ZNENIE ZÁKONA č. 385/2018 Z. z. O OSOBITNOM ODVODE OBCHODNÝCH REŤAZCOV A O DOPLNENÍ ZÁKONA č. 595/2003 Z. z. O DANI Z PRÍJMOV V ZNENÍ NESKORŠÍCH

ÚPLNÉ ZNENIE ZÁKONA č. 385/2018 Z. z. O OSOBITNOM ODVODE OBCHODNÝCH REŤAZCOV A O DOPLNENÍ ZÁKONA č. 595/2003 Z. z. O DANI Z PRÍJMOV V ZNENÍ NESKORŠÍCH ÚPLNÉ ZNENIE ZÁKONA č. 385/2018 Z. z. O OSOBITNOM ODVODE OBCHODNÝCH REŤAZCOV A O DOPLNENÍ ZÁKONA č. 595/2003 Z. z. O DANI Z PRÍJMOV V ZNENÍ NESKORŠÍCH PREDPISOV ZÁKON č. 385/2018 Z. z. o osobitnom odvode

Podrobnejšie

Snímka 1

Snímka 1 STN EN 1991-2 ZAŤAŽENIE KONŠTRUKCIÍ ČASŤ 2: ZAŤAŽENIA MOSTOV DOPRAVOU (ŽELEZNIČNÉ MOSTY) Prednášajúci: Ing. Richard Hlinka, PhD. Tento príspevok vznikol vďaka podpore v rámci OP Vzdelávanie pre projekt

Podrobnejšie

TNC 620_Príručka používateľa_„Programovanie cyklov“Softvér NC_ / /

TNC 620_Príručka používateľa_„Programovanie cyklov“Softvér NC_ / / TNC 620 Príručka používateľa Programovanie cyklov Softvér NC 817600-01 817601-01 817605-01 Slovensky (sk) 3/2015 Základy Základy O tejto príručke O tejto príručke V nasledujúcom texte nájdete zoznam symbolov

Podrobnejšie

Seriál XXXII.IV Mechanika, FYKOS

Seriál XXXII.IV Mechanika, FYKOS Seriál: Mechanika V tejto časti seriálu dokončíme príklad, ktorý sme minule začali - výpočet matematického kyvadla. K tomu ale budeme potrebovať vedieť, čo je to Taylorov rozvoj. Ďalej si ukážeme, ako

Podrobnejšie

Katalóg cieľových požiadaviek k maturitnej skúške

Katalóg  cieľových požiadaviek  k maturitnej skúške CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY BRATISLAVA 2019 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskum a športu Slovenskej republiky dňa 12. júna 2019 pod číslom 2019/2049:2-A1020

Podrobnejšie

Prenosový kanál a jeho kapacita

Prenosový kanál a jeho kapacita Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a

Podrobnejšie

Didaktické testy

Didaktické testy Didaktické testy Didaktický test - Nástroj systematického zisťovania výsledkov výuky - Obsahuje prvky, ktoré je možné využiť aj v pedagogickom výskume Druhy didaktických testov A) Didaktické testy podľa

Podrobnejšie

Učebné osnovy Vzdelávacia oblasť Názov predmetu Stupeň vzdelania Ročník Počet hodín Poznámka Matematika a práca s informáciami Matematika ISCED I Tret

Učebné osnovy Vzdelávacia oblasť Názov predmetu Stupeň vzdelania Ročník Počet hodín Poznámka Matematika a práca s informáciami Matematika ISCED I Tret Učebné osnovy Vzdelávacia oblasť Názov predmetu Stupeň vzdelania Ročník Počet hodín Poznámka Matematika a práca s informáciami Matematika ISCED I Tretí Týždenne: 5 h ročne: 165 h 1 disponibilná hodina

Podrobnejšie

O babirusách

O babirusách VAN HIELE: ROZVOJ GEOMETRICKÉHO MYSLENIA VYRIEŠTE ÚLOHU Máme danú priamku e. Ktoré body ležia vo vzdialenosti 5cm od tejto priamky? Zoraďte žiacke riešenia v dokumente VanHiele_riesenia.pdf podľa úrovne

Podrobnejšie