Masarykova Univerzita Brno, Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky
|
|
- Vladimír Brož
- pred 4 rokmi
- Prehliadani:
Prepis
1 Mluví příroda jazykem matematiky? Zdeněk Pospíšil Masarykova Univerzita Brno, Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky
2 Úvod Překvapivá účinnost matematiky Matematika Matematika ve fyzice Matematika v biologii dalšímu čtení Úvod Mluví příroda jazykem matematiky? 2 / 18
3 Překvapivá účinnost matematiky Úvod Překvapivá účinnost matematiky Matematika Matematika ve fyzice Galileo Galilei ( ): Matematika je jazyk, kterým Bůh napsal přírodu. Matematika v biologii dalšímu čtení Mluví příroda jazykem matematiky? 3 / 18
4 Překvapivá účinnost matematiky Úvod Překvapivá účinnost matematiky Matematika Matematika ve fyzice Galileo Galilei ( ): Matematika je jazyk, kterým Bůh napsal přírodu. Matematika v biologii dalšímu čtení John D. Barrow (*1952): Bude-li kdy objevena, obsahem,,teorie všeho bude logicky konzistentní matematika. Mluví příroda jazykem matematiky? 3 / 18
5 Překvapivá účinnost matematiky Úvod Překvapivá účinnost matematiky Matematika Matematika ve fyzice Galileo Galilei ( ): Matematika je jazyk, kterým Bůh napsal přírodu. Matematika v biologii dalšímu čtení John D. Barrow (*1952): Bude-li kdy objevena, obsahem,,teorie všeho bude logicky konzistentní matematika. Proč je matematika tak úspěšným nástrojem porozumění fyzikálnímu světu? Mluví příroda jazykem matematiky? 3 / 18
6 Úvod Matematika Vznik matematiky Co je matematika Užití matematiky Povaha matematiky Matematika ve fyzice Matematika v biologii dalšímu čtení Matematika Mluví příroda jazykem matematiky? 4 / 18
7 Vznik matematiky Mluví příroda jazykem matematiky? 5 / 18
8 Vznik matematiky Velký zlom: 6. století př.n.l. krize mythologie Mluví příroda jazykem matematiky? 5 / 18
9 Vznik matematiky Velký zlom: 6. století př.n.l. krize mythologie Řešení: Mluví příroda jazykem matematiky? 5 / 18
10 Vznik matematiky Velký zlom: 6. století př.n.l. krize mythologie Řešení: Siddhartha Gótama Mluví příroda jazykem matematiky? 5 / 18
11 Vznik matematiky Velký zlom: 6. století př.n.l. krize mythologie Řešení: Siddhartha Gótama: vše je jen představa Mluví příroda jazykem matematiky? 5 / 18
12 Vznik matematiky Velký zlom: 6. století př.n.l. krize mythologie Řešení: Siddhartha Gótama: vše je jen představa Zarathustra Mluví příroda jazykem matematiky? 5 / 18
13 Vznik matematiky Velký zlom: 6. století př.n.l. krize mythologie Řešení: Siddhartha Gótama: vše je jen představa Zarathustra: aktuálně probíhá boj dobra a zla Mluví příroda jazykem matematiky? 5 / 18
14 Vznik matematiky Velký zlom: 6. století př.n.l. krize mythologie Řešení: Siddhartha Gótama: vše je jen představa Zarathustra: aktuálně probíhá boj dobra a zla proroci Izraele Mluví příroda jazykem matematiky? 5 / 18
15 Vznik matematiky Velký zlom: 6. století př.n.l. krize mythologie Řešení: Siddhartha Gótama: vše je jen představa Zarathustra: aktuálně probíhá boj dobra a zla proroci Izraele: pravda přichází z budoucnosti Mluví příroda jazykem matematiky? 5 / 18
16 Vznik matematiky Velký zlom: 6. století př.n.l. krize mythologie Řešení: Siddhartha Gótama: vše je jen představa Zarathustra: aktuálně probíhá boj dobra a zla proroci Izraele: pravda přichází z budoucnosti Pýthagoras Mluví příroda jazykem matematiky? 5 / 18
17 Vznik matematiky Velký zlom: 6. století př.n.l. krize mythologie Řešení: Siddhartha Gótama: vše je jen představa Zarathustra: aktuálně probíhá boj dobra a zla proroci Izraele: pravda přichází z budoucnosti Pýthagoras: základem jsoucna je číslo Mluví příroda jazykem matematiky? 5 / 18
18 Vznik matematiky Velký zlom: 6. století př.n.l. krize mythologie Řešení: Siddhartha Gótama: vše je jen představa Zarathustra: aktuálně probíhá boj dobra a zla proroci Izraele: pravda přichází z budoucnosti Pýthagoras: základem jsoucna je číslo Mluví příroda jazykem matematiky? 5 / 18
19 Vznik matematiky Velký zlom: 6. století př.n.l. krize mythologie Řešení: Siddhartha Gótama: vše je jen představa Zarathustra: aktuálně probíhá boj dobra a zla proroci Izraele: pravda přichází z budoucnosti Pýthagoras: základem jsoucna je číslo Mluví příroda jazykem matematiky? 5 / 18
20 Co je matematika Mluví příroda jazykem matematiky? 6 / 18
21 Co je matematika µαϑησις µαϑητ ης µαϑηµα µαϑηµατικoς µαϑηµατικα poučení, naučení učedník nauka, to co je k naučení něco mezi επιστηµη (známost, lat. scientia) γνωσις (poznání, lat. cognitio) náležející k nauce (učedník i pojednání) všechny věci, které jsou této naučné povahy Mluví příroda jazykem matematiky? 6 / 18
22 Co je matematika µαϑησις µαϑητ ης µαϑηµα µαϑηµατικoς µαϑηµατικα poučení, naučení učedník nauka, to co je k naučení něco mezi επιστηµη (známost, lat. scientia) γνωσις (poznání, lat. cognitio) náležející k nauce (učedník i pojednání) všechny věci, které jsou této naučné povahy (plurál středního rodu) Mluví příroda jazykem matematiky? 6 / 18
23 Co je matematika µαϑησις µαϑητ ης µαϑηµα µαϑηµατικoς µαϑηµατικα poučení, naučení učedník nauka, to co je k naučení něco mezi επιστηµη (známost, lat. scientia) γνωσις (poznání, lat. cognitio) náležející k nauce (učedník i pojednání) všechny věci, které jsou této naučné povahy (plurál středního rodu) Vlivem pythagorejských učedníků (µαϑηµατικoι) se význam slova matematika zúžil na zabývání se čísly a geometrickými objekty. Mluví příroda jazykem matematiky? 6 / 18
24 Užití matematiky Platón (428/7 348/7) Timaios 28a:,,Nejprve jest podle mého mínění stanoviti tuto rozluku: co jest to, co stále jest, ale vzniku nemá, a co jest to, co stále vzniká, ale nikdy není jsoucí. Nápis nad branou Akademie: Nevstupuj sem nikdo, kdo nejsi geometrem. Mluví příroda jazykem matematiky? 7 / 18
25 Užití matematiky Platón (428/7 348/7) Euklides z Alexandrie (365? 280?) Στoιχεια, Elementa: deduktivní výstavba nauky Mluví příroda jazykem matematiky? 7 / 18
26 Užití matematiky Platón (428/7 348/7) Euklides z Alexandrie (365? 280?) Archimédés (287? 212) použití matematiky v mechanice, válečné stroje Mluví příroda jazykem matematiky? 7 / 18
27 Užití matematiky Platón (428/7 348/7) Euklides z Alexandrie (365? 280?) Archimédés (287? 212) Galileo Galilei ( ) zákony volného pádu Mluví příroda jazykem matematiky? 7 / 18
28 Užití matematiky Platón (428/7 348/7) Euklides z Alexandrie (365? 280?) Archimédés (287? 212) Galileo Galilei ( ) Isaac Newton ( ) Philosophiæ naturalis principia mathematica:,,zajisté přímka a kružnice patří do geometrie, leč i mechaniky se týkají. Mluví příroda jazykem matematiky? 7 / 18
29 Užití matematiky Platón (428/7 348/7) Euklides z Alexandrie (365? 280?) Archimédés (287? 212) Galileo Galilei ( ) Isaac Newton ( ) Fyzika 20. století, teorie relativity a kvantová fyzika Mluví příroda jazykem matematiky? 7 / 18
30 Užití matematiky Platón (428/7 348/7) Euklides z Alexandrie (365? 280?) Archimédés (287? 212) Galileo Galilei ( ) Isaac Newton ( ) Fyzika 20. století, teorie relativity a kvantová fyzika,,jakmile vágní a nesystematické užívání řeči vede k obtížím, musí se fyzik vrátit zpět k matematickému schématu. Mluví příroda jazykem matematiky? 7 / 18
31 Povaha matematiky Matematické objekty existují v,,jiném světě, skutečnějším než,,svět jevů. Matematik je objevuje. Matematické objekty jsou abstrahovány z reálných, jsou to,,prázdné formy. Matematik je vymýšĺı. Mluví příroda jazykem matematiky? 8 / 18
32 Úvod Matematika Matematika ve fyzice Mechanika Termodynamika Matematika v biologii dalšímu čtení Matematika ve fyzice Mluví příroda jazykem matematiky? 9 / 18
33 Mechanika m hmotnost částice x = poloha částice v čase t Mluví příroda jazykem matematiky? 10 / 18
34 Mechanika m hmotnost částice x = poloha částice v čase t rychlost: v = v(t) = t = x(t + t) t hybnost: p = p(t) = mv, p = m v zrychlení: síla: a = a(t) = v(t) t = F = ma = m v t = p t v(t + t) v(t) t Mluví příroda jazykem matematiky? 10 / 18
35 Mechanika m hmotnost částice x = poloha částice v čase t rychlost: v = v(t) = t = x(t + t) t hybnost: p = p(t) = mv, p = m v zrychlení: a = a(t) = v(t) t = v(t + t) v(t) t síla: Newtonovy zákony: F = ma = m v t = p t x t = 1 m p p t = F Mluví příroda jazykem matematiky? 10 / 18
36 Termodynamika N počet částic plynu Mluví příroda jazykem matematiky? 11 / 18
37 Termodynamika N počet částic plynu V objem plynu p tlak plynu T (termodynamická) teplota Mluví příroda jazykem matematiky? 11 / 18
38 Termodynamika N počet částic plynu V objem plynu p tlak plynu T (termodynamická) teplota Stavová rovnice plynu: pv N = kt Mluví příroda jazykem matematiky? 11 / 18
39 Úvod Matematika Matematika ve fyzice Matematika v biologii Růst homogenní populace Růst homogenní populace s omezenými zdroji Interagující populace Strukturovaná populace Matematika v biologii dalšímu čtení Mluví příroda jazykem matematiky? 12 / 18
40 Růst homogenní populace Mluví příroda jazykem matematiky? 13 / 18
41 Růst homogenní populace velikost populace v čase t, který plyne v,,přirozených jednotkách Mluví příroda jazykem matematiky? 13 / 18
42 Růst homogenní populace velikost populace v čase t, který plyne v,,přirozených jednotkách x(t + 1) = uhynuĺı + narození Mluví příroda jazykem matematiky? 13 / 18
43 Růst homogenní populace velikost populace v čase t, který plyne v,,přirozených jednotkách x(t + 1) = uhynuĺı + narození x(t + 1) = d + b d úmrtnost (pravděpodobnost úmrtí během časové jednotky), d 0, 1 b porodnost (průměrný počet potomků jedince), b 0 Mluví příroda jazykem matematiky? 13 / 18
44 Růst homogenní populace velikost populace v čase t, který plyne v,,přirozených jednotkách x(t + 1) = uhynuĺı + narození x(t + 1) = d + b = (1 d + b) d úmrtnost (pravděpodobnost úmrtí během časové jednotky), d 0, 1 b porodnost (průměrný počet potomků jedince), b 0 Mluví příroda jazykem matematiky? 13 / 18
45 Růst homogenní populace velikost populace v čase t, který plyne v,,přirozených jednotkách x(t + 1) = uhynuĺı + narození x(t + 1) = d + b = (1 d + b) d úmrtnost (pravděpodobnost úmrtí během časové jednotky), d 0, 1 b porodnost (průměrný počet potomků jedince), b 0 r = 1 d + b růstový koeficient, r 0 Mluví příroda jazykem matematiky? 13 / 18
46 Růst homogenní populace velikost populace v čase t, který plyne v,,přirozených jednotkách x(t + 1) = uhynuĺı + narození x(t + 1) = d + b = (1 d + b) = r d úmrtnost (pravděpodobnost úmrtí během časové jednotky), d 0, 1 b porodnost (průměrný počet potomků jedince), b 0 r = 1 d + b růstový koeficient, r 0 Mluví příroda jazykem matematiky? 13 / 18
47 Růst homogenní populace velikost populace v čase t, který plyne v,,přirozených jednotkách x(t + 1) = uhynuĺı + narození x(t + 1) = d + b = (1 d + b) = r d úmrtnost (pravděpodobnost úmrtí během časové jednotky), d 0, 1 b porodnost (průměrný počet potomků jedince), b 0 r = 1 d + b růstový koeficient, r 0 x(t + 1) = r Mluví příroda jazykem matematiky? 13 / 18
48 Růst homogenní populace velikost populace v čase t, který plyne v,,přirozených jednotkách x(t + 1) = uhynuĺı + narození x(t + 1) = d + b = (1 d + b) = r d úmrtnost (pravděpodobnost úmrtí během časové jednotky), d 0, 1 b porodnost (průměrný počet potomků jedince), b 0 r = 1 d + b růstový koeficient, r 0 x(t + 1) = r Rekurentní formule pro geometrickou posloupnost Mluví příroda jazykem matematiky? 13 / 18
49 Růst homogenní populace velikost populace v čase t, který plyne v,,přirozených jednotkách x(t + 1) = uhynuĺı + narození x(t + 1) = d + b = (1 d + b) = r d úmrtnost (pravděpodobnost úmrtí během časové jednotky), d 0, 1 b porodnost (průměrný počet potomků jedince), b 0 r = 1 d + b růstový koeficient, r 0 x(0) = x 0 počáteční velikost populace x(t + 1) = r = x 0 r t Mluví příroda jazykem matematiky? 13 / 18
50 Růst homogenní populace velikost populace v čase t, který plyne v,,přirozených jednotkách x(t + 1) = uhynuĺı + narození x(t + 1) = d + b = (1 d + b) = r d úmrtnost (pravděpodobnost úmrtí během časové jednotky), d 0, 1 b porodnost (průměrný počet potomků jedince), b 0 r = 1 d + b růstový koeficient, r 0 x(0) = x 0 počáteční velikost populace x(t + 1) = r r > 1, tj. b > d, r = 1, tj. b = d, r < 1, tj. b < d, = x 0 r t populace roste populace má konstatntní velikost populace vymírá Mluví příroda jazykem matematiky? 13 / 18
51 Růst homogenní populace x(t + 1) = r, x(0) = x 0 Mluví příroda jazykem matematiky? 13 / 18
52 Růst homogenní populace x(t + 1) = r, x(0) = x 0 růstový koeficient r = x(t + 1) Mluví příroda jazykem matematiky? 13 / 18
53 Růst homogenní populace x(t + 1) = r, x(0) = x 0 růstový koeficient r = x(t + 1) závisí na velikosti populace r = r ( ) Mluví příroda jazykem matematiky? 13 / 18
54 Růst homogenní populace s omezenými zdroji r x(t + 1) 1 Mluví příroda jazykem matematiky? 14 / 18
55 Růst homogenní populace s omezenými zdroji Malthus: x(t + 1) = r r x(t + 1) 1 Mluví příroda jazykem matematiky? 14 / 18
56 Růst homogenní populace s omezenými zdroji Malthus: x(t + 1) = r r x(t + 1) Verhulst: x(t + 1) = r (r 1) «1 Mluví příroda jazykem matematiky? 14 / 18
57 Růst homogenní populace s omezenými zdroji Malthus: x(t + 1) = r r x(t + 1) Verhulst: x(t + 1) = r (r 1) «1 Pielou: x(t + 1) = r 1 + (r 1) Mluví příroda jazykem matematiky? 14 / 18
58 Růst homogenní populace s omezenými zdroji Malthus: x(t + 1) = r r x(t + 1) Verhulst: x(t + 1) = r (r 1) «1 Pielou: x(t + 1) = r 1 + (r 1) Ricker: 1 x(t + 1) = r Mluví příroda jazykem matematiky? 14 / 18
59 Růst homogenní populace s omezenými zdroji Malthus: x(t + 1) = r = (r 1) r x(t + 1) Verhulst: x(t + 1) = r (r 1) «1 Pielou: x(t + 1) = r 1 + (r 1) Ricker: 1 x(t + 1) = r Mluví příroda jazykem matematiky? 14 / 18
60 Růst homogenní populace s omezenými zdroji Malthus: x(t + 1) = r = (r 1) r x(t + 1) Verhulst: x(t + 1) = r (r 1) «= (r 1) 1 «1 Pielou: x(t + 1) = r 1 + (r 1) Ricker: 1 x(t + 1) = r Mluví příroda jazykem matematiky? 14 / 18
61 Růst homogenní populace s omezenými zdroji Malthus: x(t + 1) = r = (r 1) r x(t + 1) Verhulst: x(t + 1) = r (r 1) «= (r 1) 1 «1 Pielou: x(t + 1) = = r 1 + (r 1) (r 1) 1 + (r 1) 1 «Ricker: 1 x(t + 1) = r Mluví příroda jazykem matematiky? 14 / 18
62 Růst homogenní populace s omezenými zdroji Malthus: x(t + 1) = r = (r 1) r x(t + 1) Verhulst: x(t + 1) = r (r 1) «= (r 1) 1 «1 Pielou: x(t + 1) = = r 1 r r 1 + (r 1) 1 «x(t + 1) Ricker: 1 x(t + 1) = r Mluví příroda jazykem matematiky? 14 / 18
63 Růst homogenní populace s omezenými zdroji Malthus: x(t + 1) = r = (r 1) r x(t + 1) Verhulst: x(t + 1) = r (r 1) «= (r 1) 1 «1 Pielou: x(t + 1) = = r 1 r r 1 + (r 1) 1 «x(t + 1) Ricker: 1 x(t + 1) = r 1 = r 1 Mluví příroda jazykem matematiky? 14 / 18
64 Růst homogenní populace s omezenými zdroji Malthus: x(t + 1) = r = (r 1) r x(t + 1) Verhulst: x(t + 1) = r (r 1) «= (r 1) 1 «1 Pielou: x(t + 1) = = r 1 r r 1 + (r 1) 1 «x(t + 1) Ricker: 1 x(t + 1) = r 1 = r 1 Mluví příroda jazykem matematiky? 14 / 18
65 Růst homogenní populace s omezenými zdroji r x(t + 1) 1 Mluví příroda jazykem matematiky? 14 / 18
66 Růst homogenní populace s omezenými zdroji r x(t + 1) 1 Základní rovnice: r x(t + 1) = «β 1 + (r 1) «! β r 1 = «β (r 1) = r 1 r 1 «! β x(t + 1) Mluví příroda jazykem matematiky? 14 / 18
67 Růst homogenní populace s omezenými zdroji r x(t + 1) 1 Rovnice se zpožděním: r x(t + 1) = «β x(t 1) 1 + (r 1) Mluví příroda jazykem matematiky? 14 / 18
68 Růst homogenní populace s omezenými zdroji r x(t + 1) 1 ϑ Allee: x(t + 1) = r 4 ( ϑ) 2 1 (x ϑ) Mluví příroda jazykem matematiky? 14 / 18
69 Růst homogenní populace s omezenými zdroji r x(t + 1) 1 ϑ Gompertz: x(t + 1) = r ln r ln Mluví příroda jazykem matematiky? 14 / 18
70 Interagující populace Mluví příroda jazykem matematiky? 15 / 18
71 Interagující populace Růst jedné populace (Rickerův model) 1 x(t + 1) = r, x(0) = x0 Mluví příroda jazykem matematiky? 15 / 18
72 Interagující populace Růst jedné populace (Rickerův model) 1 x(t + 1) = r, x(0) = x0 1 růstový koeficient: r klesá s rostoucí velikostí populace Mluví příroda jazykem matematiky? 15 / 18
73 Interagující populace Růst jedné populace (Rickerův model) 1 x(t + 1) = r, x(0) = x0 1 růstový koeficient: r klesá s rostoucí velikostí populace, y(t) velikosti dvou interagujících populací v čase t Mluví příroda jazykem matematiky? 15 / 18
74 Interagující populace Růst jedné populace (Rickerův model) 1 x(t + 1) = r, x(0) = x0 1 růstový koeficient: r klesá s rostoucí velikostí populace, y(t) velikosti dvou interagujících populací v čase t Lotka-Volterra: 1 α 12 y(t) x(t + 1) = r 1 1, x(0) = x 0 y(t + 1) = r 1 y(t) 2 α 21 2 y(t), y(0) = y 0 Mluví příroda jazykem matematiky? 15 / 18
75 Interagující populace Růst jedné populace (Rickerův model) 1 x(t + 1) = r, x(0) = x0 1 růstový koeficient: r klesá s rostoucí velikostí populace, y(t) velikosti dvou interagujících populací v čase t Lotka-Volterra: 1 α 12 y(t) x(t + 1) = r 1 1, x(0) = x 0 y(t) 1 α 21 y(t + 1) = r 2 2 y(t), y(0) = y 0 α 12 > 0, α 21 > 0 konkurence, kompetice Mluví příroda jazykem matematiky? 15 / 18
76 Interagující populace Růst jedné populace (Rickerův model) 1 x(t + 1) = r, x(0) = x0 1 růstový koeficient: r klesá s rostoucí velikostí populace, y(t) velikosti dvou interagujících populací v čase t Lotka-Volterra: 1 α 12 y(t) x(t + 1) = r 1 1, x(0) = x 0 y(t) 1 α 21 y(t + 1) = r 2 2 y(t), y(0) = y 0 α 12 > 0, α 21 > 0 konkurence, kompetice α 12 < 0, α 21 < 0 mutualismus, symbióza Mluví příroda jazykem matematiky? 15 / 18
77 Interagující populace Růst jedné populace (Rickerův model) 1 x(t + 1) = r, x(0) = x0 1 růstový koeficient: r klesá s rostoucí velikostí populace, y(t) velikosti dvou interagujících populací v čase t Lotka-Volterra: 1 α 12 y(t) x(t + 1) = r 1 1, x(0) = x 0 y(t) 1 α 21 y(t + 1) = r 2 2 y(t), y(0) = y 0 α 12 > 0, α 21 > 0 konkurence, kompetice α 12 < 0, α 21 < 0 mutualismus, symbióza α 12 > 0, α 21 < 0 predace (populace s velikostí x je kořist, s velikostí y je dravec) Mluví příroda jazykem matematiky? 15 / 18
78 Strukturovaná populace Mluví příroda jazykem matematiky? 16 / 18
79 Strukturovaná populace Leonardo Pisánský, Fibonacci ( ): dosi umístil pár kráĺıků na určitém místě, se všech stran ohrazeném zdí, aby poznal, kolik párů kráĺıků se při tom zrodí průběhem roku, jestliže u kráĺıků je tomu tak, že pár kráĺıků přivede na svět měsíčně jeden pár a že kráĺıci počínají rodit ve dvou měsících svého věku. Mluví příroda jazykem matematiky? 16 / 18
80 Strukturovaná populace Leonardo Pisánský, Fibonacci ( ): dosi umístil pár kráĺıků na určitém místě, se všech stran ohrazeném zdí, aby poznal, kolik párů kráĺıků se při tom zrodí průběhem roku, jestliže u kráĺıků je tomu tak, že pár kráĺıků přivede na svět měsíčně jeden pár a že kráĺıci počínají rodit ve dvou měsících svého věku. počet párů kráĺıků v t-tém měsíci Mluví příroda jazykem matematiky? 16 / 18
81 Strukturovaná populace Leonardo Pisánský, Fibonacci ( ): dosi umístil pár kráĺıků na určitém místě, se všech stran ohrazeném zdí, aby poznal, kolik párů kráĺıků se při tom zrodí průběhem roku, jestliže u kráĺıků je tomu tak, že pár kráĺıků přivede na svět měsíčně jeden pár a že kráĺıci počínají rodit ve dvou měsících svého věku. počet párů kráĺıků v t-tém měsíci = x(t 1) + x(t 2) Mluví příroda jazykem matematiky? 16 / 18
82 Strukturovaná populace Leonardo Pisánský, Fibonacci ( ): dosi umístil pár kráĺıků na určitém místě, se všech stran ohrazeném zdí, aby poznal, kolik párů kráĺıků se při tom zrodí průběhem roku, jestliže u kráĺıků je tomu tak, že pár kráĺıků přivede na svět měsíčně jeden pár a že kráĺıci počínají rodit ve dvou měsících svého věku. počet párů kráĺıků v t-tém měsíci = x(t 1) + x(t 2) x(t + 2) = x(t + 1) +, x(0) = 1, x(1) = 2 Mluví příroda jazykem matematiky? 16 / 18
83 Strukturovaná populace Leonardo Pisánský, Fibonacci ( ): dosi umístil pár kráĺıků na určitém místě, se všech stran ohrazeném zdí, aby poznal, kolik párů kráĺıků se při tom zrodí průběhem roku, jestliže u kráĺıků je tomu tak, že pár kráĺıků přivede na svět měsíčně jeden pár a že kráĺıci počínají rodit ve dvou měsících svého věku. počet párů kráĺıků v t-tém měsíci = x(t 1) + x(t 2) x(t + 2) = x(t + 1) +, x(0) = 1, x(1) = 2 t Mluví příroda jazykem matematiky? 16 / 18
84 Strukturovaná populace množství juvenilních,,jedinců v čase t y(t) množství plodných,,jedinců v čase t Mluví příroda jazykem matematiky? 16 / 18
85 Strukturovaná populace množství juvenilních,,jedinců v čase t y(t) množství plodných,,jedinců v čase t σ 1 pravděpodobnost, že juvenilní,,jedinec přežije jedno období σ 2 pravděpodobnost, že plodný,,jedinec přežije jedno období γ pravděpodobnost, že juvenilní,,jedinec během období dospěje b plodnost, tj. průměrný počet potomků plodného,,jedince za jedno období Mluví příroda jazykem matematiky? 16 / 18
86 Strukturovaná populace množství juvenilních,,jedinců v čase t y(t) množství plodných,,jedinců v čase t σ 1 pravděpodobnost, že juvenilní,,jedinec přežije jedno období σ 2 pravděpodobnost, že plodný,,jedinec přežije jedno období γ pravděpodobnost, že juvenilní,,jedinec během období dospěje b plodnost, tj. průměrný počet potomků plodného,,jedince za jedno období x(t + 1) = σ 1 (1 γ) + b y(t) y(t + 1) = σ 1 γ +σ 2 y(t) Mluví příroda jazykem matematiky? 16 / 18
87 Strukturovaná populace množství juvenilních,,jedinců v čase t y(t) množství plodných,,jedinců v čase t σ 1 pravděpodobnost, že juvenilní,,jedinec přežije jedno období σ 2 pravděpodobnost, že plodný,,jedinec přežije jedno období γ pravděpodobnost, že juvenilní,,jedinec během období dospěje b plodnost, tj. průměrný počet potomků plodného,,jedince za jedno období x(t + 1) = σ 1 (1 γ) + b y(t) y(t + 1) = σ 1 γ +σ 2 y(t) x(t + 2) = ( σ 1 (1 γ) + σ 2 ) x(t + 1) + σ1 ( bγ σ2 (1 γ) ) Mluví příroda jazykem matematiky? 16 / 18
88 Strukturovaná populace množství juvenilních,,jedinců v čase t y(t) množství plodných,,jedinců v čase t σ 1 pravděpodobnost, že juvenilní,,jedinec přežije jedno období σ 2 pravděpodobnost, že plodný,,jedinec přežije jedno období γ pravděpodobnost, že juvenilní,,jedinec během období dospěje b plodnost, tj. průměrný počet potomků plodného,,jedince za jedno období x(t + 1) = σ 1 (1 γ) + b y(t) y(t + 1) = σ 1 γ +σ 2 y(t) x(t + 2) = ( σ 1 (1 γ) + σ 2 ) x(t + 1) + σ1 ( bγ σ2 (1 γ) ) Parametry přežití, dospívání ( a) plodnosti mohou ( záviset na velikosti ( populace, ) např. σ 1 = Σ 1 e s 1 +y(t), σ 2 = Σ 2 e s 2 +y(t) ), γ = Γe g +y(t) ( ), b = Be c +y(t) Mluví příroda jazykem matematiky? 16 / 18
89 Úvod Matematika Matematika ve fyzice Matematika v biologii dalšímu čtení dalšímu čtení Mluví příroda jazykem matematiky? 17 / 18
90 John D. Barrow. Pí na nebesích. O počítání, myšlení a bytí. Mladá fronta: Praha, Mario Livio. Je Bůh matematik? Argo/Dokořán: Praha, Ian Stewart. Čísla přírody. Neskutečná skutečnost matematické představivosti. Archa: Bratislava, Ian Stewart. Hraje Bůh kostky? Nová matematika chaosu. Argo/Dokořán: Praha, Milan Mareš. Příběhy matematiky. Stručná historie královny věd. Pistorius&Olšanská: Příbram, Vojtěch Jarošík. Růst a regulace populací. Academia: Praha, 2005 John A. Adam. Mathematics in Nature. Modeling Patterns in the Natural World. Princeton University Press: Princeton&Oxford, Mluví příroda jazykem matematiky? 18 / 18
PowerPoint Presentation
Vymenujte základné body fyzikálneho programu ktoré určujú metodológiu fyziky pri štúdiu nejakého fyzikálneho systému Ako vyzerá pohybová rovnica pre predpovedanie budúcnosti častice v mechanike popíšte,
PodrobnejšieFYZIKA I Rámcove otázky 1998
Otázky k teoretickej skúške z predmetu Fyzika, ZS 2014/2015 Rámcové otázky: 1. Odvodiť vzťahy pre dráhu, rýchlosť a zrýchlenie pohybu hmotného bodu po priamke,(rovnomerný a rovnomerne zrýchlený pohyb).
PodrobnejšieOdpredaj za 50 % uvedenej ceny, ceny sú uvedené bez DPH. Osobný odber v Univerzitnej knižnici ŽU v Žiline Kontakt: Platn
Odpredaj za 50 % uvedenej ceny, ceny sú uvedené bez DPH. Osobný odber v Univerzitnej knižnici ŽU v Žiline Kontakt: maria.kekelyova@ukzu.uniza.sk Platnosť súboru: do 31. 7. 2019 Vyradené knihy UK 2019 obsahovo
PodrobnejšieSlide 1
Diferenciálne rovnice Základný jazyk fyziky Motivácia Typická úloha fyziky hľadanie časových priebehov veličín, ktoré spĺňajú daný fyzikálny zákon. Určte trajektóriu telesa rt ( )???? padajúceho v gravitačnom
Podrobnejšieucebne plany Materiálová technológia
Učebné plány 1. rok denné bakalárske štúdium Matematika I 6 2/1/0 s Anorganická chémia 4 2/0/0 s Úvod do konštruovania, technická 7 2/0/1 s dokumentácia Náuka o materiáli I 7 2/0/2 s Informatika I 2 0/0/2
Podrobnejšieučebné plány_ŠKVP_2013_14
Učebný plán študijného odboru 3650 M staviteľstvo Všeobecné vzdelávanie Škola (názov, adresa) Stredná priemyselná škola stavebná, Plzenská 10, 080 01 Prešov Názov ŠkVP Kód a názov ŠVP Kód a názov študijného
PodrobnejšieČiastka 205/2004
Strana 4282 Zbierka zákonov č. 481/2004 Čiastka 205 481 o zvý še ní sumy za o pat ro va cie ho prí spev ku Vlá da pod a 4 ods. 4 zá ko na č. 236/1998 Z. z. o za o pat ro va com prí spev ku v zne ní zá
PodrobnejšieÚvod do časticovej fyziky časť 1: častice a interakcie Boris Tomášik Univerzita Mateja Bela, Fakulta prírodných vied ČVUT, Fakulta jaderná a fyzikálně
Úvod do časticovej fyziky časť 1: častice a interakcie Boris Tomášik Univerzita Mateja Bela, Fakulta prírodných vied ČVUT, Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská CERN, 3.-5.6.2013 (Trochu ambiciózny) Plán
PodrobnejšiePreco kocka stací? - o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, ked sú velké
o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké o tom, ako sú rozdelené vlastné hodnoty laplasiánu v limite, keď sú veľké zaujímavé, ale len pre matematikov... NIE! o tom, ako
PodrobnejšieMicrosoft Word - Final_test_2008.doc
Záverečná písomka z Matematiky pre kog. vedu konaná dňa 3. 1. 008 Príklad 1. Odpovedzte na otázky z výrokovej logiky: (a Ako je definovaná formula (b Aký je rozdiel medzi tautológiou a splniteľnou formulou
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 8 Ciele 3. Kmity 3.1 Netlmený harmonický kmitavý pohyb 3. Tlmený harmonický kmitavý pohyb Zopakujte si Výchylka netlmeného harmonického kmitavého pohybu je x = Asin (ω 0 t + φ 0 ) Mechanická
PodrobnejšieMicrosoft Word - 01_Bugos_KSU.docx
Základní údaje o studentovi Fakulta: FEL Obor studia: Otvorená Informatika Software Úroveň studia v době pobytu v zahraničí: Bc Zahraniční škola Země: USA Název zahraniční školy: Kansas State University
PodrobnejšiePlatný od: OPIS ŠTUDIJNÉHO ODBORU
Platný od: 27.2.2017 OPIS ŠTUDIJNÉHO ODBORU (a) Názov študijného odboru: (b) Stupne vysokoškolského štúdia, v ktorých sa odbor študuje a štandardná dĺžka štúdia študijných programov pre tieto stupne vysokoškolského
PodrobnejšieTrnavská univerzita Filozofická fakulta Hornopotočná 23, Trnava Trnava ID: 5379 Odporúčaný študijný plán ETIKA-Bc - ETIKA-Bc Akademický rok Form
Trnavská univerzita Filozofická fakulta Hornopotočná 23, 91843 Trnava Trnava ID: 5379 Odporúčaný študijný plán ETIKA-Bc - ETIKA-Bc Akademický rok Forma štúdia Stupeň štúdia Študijný program 2008/2009 Denná
PodrobnejšiePrezentace aplikace PowerPoint
Ako vytvárať spätnú väzbu v interaktívnom matematickom učebnom prostredí Stanislav Lukáč, Jozef Sekerák Implementácia spätnej väzby Vysvetlenie riešenia problému, podnety pre konkrétne akcie vedúce k riešeniu
PodrobnejšiePodivný mikrosvet Mikuláš Gintner Katedra fyziky Žilinská univerzita 2013 Masterclasses in Physics 2013 M. Gintner
Podivný mikrosvet Mikuláš Gintner Katedra fyziky Žilinská univerzita 2013 4.júl 2012 oznam oznamobjavu objavunovej novejčastice častice možno možno dlhohľadaný dlhohľadanýkandidát kandidátna na HIGGSov
PodrobnejšieO babirusách
VAN HIELE: ROZVOJ GEOMETRICKÉHO MYSLENIA VYRIEŠTE ÚLOHU Máme danú priamku e. Ktoré body ležia vo vzdialenosti 5cm od tejto priamky? Zoraďte žiacke riešenia v dokumente VanHiele_riesenia.pdf podľa úrovne
PodrobnejšieMěření rychlosti zvuku ve vzduchu Mária Čarná Dalibor Javůrek Filip Jareš
Měření rychlosti zvuku ve vzduchu Mária Čarná Dalibor Javůrek Filip Jareš Dejiny akustiky Od Pythagora do konca 16. st. rozvoj prevažne hudobnej akustiky v úzkej súvislosti s teóriou hudby Klasické obdobie
PodrobnejšieZáklady programu Editor rovnic
3 Radosť vidieť a rozumieť je najkrajší dar prírody. Dôležité je neprestávať sa pýtať. Albert Einstein 3.1 Úvod V tejto časti budeme hovoriť o silách, ktoré sú v prírode. Patrí medzi ne sila, ktorá riadi
PodrobnejšieSeriál XXXII.I Mechanika, FYKOS
Seriál: Mechanika Úvod Tento rok bude seriál o mechanike. Mechanika je jedna z najstarších častí fyziky a zároveň je prvou fyzikálnou disciplínou, ktorá bola uspokojivo matematicky popísaná. Keďže mechanika
PodrobnejšieTabuľka 4.1a) Študijné odbory UMB uskutočňované v roku 2004 podľa doterajších predpisov Študijné odbory UMB Bc. štúdium Mgr. štúdium PhD. Štúdium usku
Tabuľka 4.1a) Študijné odbory UMB uskutočňované v roku 2004 podľa doterajších predpisov Študijné odbory UMB Bc. štúdium Mgr. štúdium PhD. Štúdium uskutočňované v roku 2004 počet počet počet Kód ŠO Kód
PodrobnejšieMechanik, opravár strojov a zariadení na ťažbu nerastných surovín Charakteristika Mechanik, opravár strojov a zariadení na ťažbu nerastnýc
Mechanik, opravár strojov a zariadení na ťažbu nerastných surovín Charakteristika Mechanik, opravár strojov a zariadení na ťažbu nerastných surovín vykonáva montážne práce, opravy a údržbu prepravnej,
Podrobnejšietkacikova
Apollonius z Perge (história matematiky) Jana Tkačíková, 4. roč. Mat-NV Apollonius z Perge Apollonius z Perge (približne 262-190 p.n.l.) bol grécky geometer a astronóm, je známy ako jeden z najvýznamnejších
PodrobnejšieMicrosoft PowerPoint - Paschenov zakon [Read-Only] [Compatibility Mode]
Výboje v plynoch, V-A charakteristika Oblasť I. : U => I pri väčšej intenzite poľa (E) je pohyb nosičov náboja k elektródam rýchlejší a tak medzi ich vznikom a neutralizáciou na elektródach uplynie kratší
PodrobnejšieSchwarz, Štefan - osobný fond
Ústredný archív Slovenskej akadémie vied Schwarz, Štefan osobný fond 1937 1996 (2014) inventár Kamencová, Lýdia 2016 Názov fondu: Schwarz, Štefan osobný fond Skrátený názov fondu: Evidenčné číslo: 36482
PodrobnejšiePrenosový kanál a jeho kapacita
Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a
PodrobnejšieZadanie_1_P1_TMII_ZS
Grafické riešenie mechanizmov so súčasným pohybom DOMÁE ZDNIE - PRÍKLD č. Príklad.: Určte rýchlosti a zrýchlenia bodov,, a D rovinného mechanizmu na obrázku. v danej okamžitej polohe, ak je daná konštantná
PodrobnejšieHodnotenie žiakov I
Hodnotenie žiakov I. stupňa ZŠ na šk. rok 2018/2019 Hodnotenie žiakov I. stupňa je v súlade s Metodickým pokynom č. 22/2011 a č. 19/2015. V jednotlivých ročníkoch a podľa jednotlivých predmetov je známkovanie
PodrobnejšieVybrané kapitoly zo štatistickej fyziky - domáce úlohy Michal Koval 19. mája 2015 Domáca úloha č. 1 (pochádza z: [3]) Systém pozos
Vybrané kapitoly zo štatistickej fyziky - domáce úlohy Michal Koval koval@fmph.uniba.sk 19. mája 2015 Domáca úloha č. 1 (pochádza z: [3]) Systém pozostávajúci z N nezávislých spinov. Každý zo spinov sa
PodrobnejšieUrýchľovačová fyzika (letný semester 2014) vyučujúci: M.Gintner, I.Melo prednáška: 2 hod/týždeň cvičenie: 2 hod/týždeň odporúčaná literatúra: M. Bomba
Urýchľovačová fyzika (letný semester 214) vyučujúci:, I.Melo prednáška: 2 hod/týždeň cvičenie: 2 hod/týždeň odporúčaná literatúra: M. Bombara, M. Gintner, I. Melo: Invitation to Elementary Particles ISBN
PodrobnejšieModel tesnej väzby (TBH) Peter Markoš, KF FEI STU April 21, 2008 Typeset by FoilTEX
Model tesnej väzby (TBH) Peter Markoš, KF FEI STU April 21, 28 Typeset by FoilTEX Obsah 1. TBH: definícia: elektrónový, elektromagnetický 2. Disperzné vzt ahy 3. Spektrum, okrajové podmienky 4. TBH vs.
PodrobnejšieMetódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,
Podrobnejšie4. MECHANICKÁ PRÁCA, VÝKON A ENERGIA 4 Mechanická práca, výkon a energia Pôsobenie vonkajších síl na hmotné body (telesá), resp. sústavu hmotných bodo
4 Mechanická práca, výkon a energia Pôsobenie vonkajších síl na hmotné body (telesá), resp. sústavu hmotných bodov (telies), môže viesť k zmene ich polohy, pohybového stavu, alebo môže zapríčiniť zmenu
PodrobnejšieHranoly (11 hodín) September - 17 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 165 hodín/rok Tematický celok Poče
Hranoly ( hodín) September - 7 hodín Opakovanie - 8. ročník (6 hodín) Mesiac Matematika 9. ročník 5 hodín/týždeň 65 hodín/rok Tematický celok Počet hodín 6 Téma Obsahový štandard Výkonový štandard Opakovanie
Podrobnejšie9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty 1. Systém lineárnych rovníc Systém
9. kapitola Maticová algebra II systém lineárnych rovníc, Frobeniova veta, Gaussova eliminačná metóda, determinanty. Systém lineárnych rovníc Systém lineárnych rovníc, ktorý obsahuje m rovníc o n neznámych
PodrobnejšieRozvrh hodín 1ŠSTDB1 - Špeciálna strojárska technika - (Jednoodborové štúdium, bakalársky I. st., denná forma), 2017/2018, Zimný semester Dátumy Deň Č
1ŠSTDB1 - Špeciálna strojárska technika - (Jednoodborové štúdium, bakalársky I. st., denná forma), 2017/2018, Zimný semester Po 09:15-10:45 2 P Matematika I ZP1 Petrušová 1SaOADB1(A), 1ŠSTDB1(A) TYZ Po
PodrobnejšiePokrocilé programovanie XI - Diagonalizácia matíc
Pokročilé programovanie XI Diagonalizácia matíc Peter Markoš Katedra experimentálnej fyziky F2-523 Letný semester 2015/2016 Obsah Fyzikálne príklady: zviazané oscilátory, anizotrópne systémy, kvantová
PodrobnejšieStatika konštrukcií - prednášky
PEDAGOGICKÁ DOKUMENTÁCIA PREDMETU Názov : Statika konštrukcií Identifikačné číslo : B-501205 Garantujúca katedra, ústav : Katedra stavebnej mechaniky, Ústav inžinierskeho staviteľstva Študijný odbor :
PodrobnejšieVypracované úlohy z Panorámy z fyziky II Autor: Martin Brakl UČO: Dátum:
Vypracované úlohy z Panorámy z fyziky II Autor: Martin Brakl UČO: 410 316 Dátum: 15.6.2013 Príklad 1 a) Aká je vzdialenosť medzi najbližšími susedmi v diamantovej mriežke uhlíka (C), kremíka (Si), germánia
PodrobnejšiePRÍPRAVA NA VEDENIE VÝCHOVNO- VZDELÁVACÍCH ČINNOSTÍ V MŠ HRY A HROVÉ ČINNOSTI PODĽA VÝBERU DETÍ ZARIADENIE: MŠ Dr. Jasenského EP A. Kmeťa 17 NÁZOV TRI
PRÍPRAVA NA VEDENIE VÝCHOVNO- VZDELÁVACÍCH ČINNOSTÍ V MŠ HRY A HROVÉ ČINNOSTI PODĽA VÝBERU DETÍ ZARIADENIE: MŠ Dr. Jasenského EP A. Kmeťa 17 NÁZOV TRIEDY: NÁZOV TRIEDY: Slniečka MENO ŠTUDENTA: Dana Chrobáková
PodrobnejšieTEORETICKÉ ÚLOHY
TEORETICKÉ ÚLOHY Chemická olympiáda kategória D 50. ročník šk. rok 2013/14 Krajské kolo Odpoveďový hárok Štartové číslo:... Spolu bodov:... Úloha 1 (12 b) Zo zátvorky vyberte správne tvrdenia (podčiarknite
PodrobnejšieSnímka 1
HIERARCHICKÝ LINEÁRNY MODEL PRIDANEJ HODNOTY ŠKOLY VO VZDELÁVANÍ Trajová Jana, Mária Kolková, Pavol Kaclík, Lukáš Píš 20.-21.10.2015, Bratislava Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/projekt je
PodrobnejšiePlatný od: OPIS ŠTUDIJNÉHO ODBORU
Platný od: 23.2.2017 OPIS ŠTUDIJNÉHO ODBORU (a) Názov študijného odboru: (b) Stupne vysokoškolského štúdia, v ktorých sa odbor študuje a štandardná dĺžka štúdia študijných programov pre tieto stupne vysokoškolského
PodrobnejšieNáuka o teple
Náuka o tele Stavová rovnica ideálneho lynu. Určité množstvo vodíka uzavreté v nádobe, ktorá má konštantný objem, má v toiacom sa ľade tlak Pa. Keď nádobu onoríme do teelného kúeľa, vzrastie tlak vodíka
PodrobnejšieB ŠTATISTIKA V SÚVISLOSTIACH DEMOGRAFIA A SOCIÁLNAŠT ŠTATISTIKA
B ŠTATISTIKA V SÚVISLOSTIACH DEMOGRAFIA A SOCIÁLNAŠT ŠTATISTIKA Autori publikácie Zuzana Podmanická (ed.) Neonila Foltánová Andrea Galvánková Ľudmila Ivančíková Mária Katerinková Michal Katuša Monika
PodrobnejšiePríklad 5 - Benzén 3. Bilančná schéma 1. Zadanie príkladu n 1 = kmol/h Definovaný základ výpočtu. Na základe informácií zo zadania si ho bude v
Príklad 5 - enzén 3. ilančná schéma 1. Zadanie príkladu n 1 = 12.862 kmol/h efinovaný základ výpočtu. Na základe informácií zo zadania si ho bude vhodné prepočítať na hmotnostný tok. m 1 = n 1*M 1 enzén
PodrobnejšieMO_pred1
Modelovanie a optimalizácia Ľudmila Jánošíková Katedra dopravných sietí Fakulta riadenia a informatiky Žilinská univerzita, Žilina Ludmila.Janosikova@fri.uniza.sk 041/5134 220 Modelovanie a optimalizácia
PodrobnejšieKedy sa predné koleso motorky zdvihne?
Kedy sa predné koleso motorky zdvihne? Samuel Kováčik Commenius University samuel.kovacik@gmail.com 4. septembra 2013 Samuel Kováčik (KTF FMFI) mat-fyz 4. septembra 2013 1 / 23 Bojový plán Čo budeme chcieť
PodrobnejšieZákladné stochastické procesy vo financiách
Technická Univerzita v Košiciach Ekonomická fakulta 20. Január 2012 základné charakteristiky zmena hodnoty W t simulácia WIENEROV PROCES základné charakteristiky základné charakteristiky zmena hodnoty
PodrobnejšieSpráva o činnosti organizácie SAV
Príloha D Údaje o pedagogickej činnosti organizácie Semestrálne prednášky: Názov semestr. predmetu: Dejiny národov a národnostných menšín Názov semestr. predmetu: Dejiny Slovenska 19. a 20. storočie Názov
PodrobnejšieStredná odborná škola technická, Kozmálovská cesta 9, Tlmače Kritériá na prijímacie konanie pre študijné odbory školský rok 2018/2019 (denné štúdium)
Kritériá na prijímacie konanie pre študijné odbory školský rok 2018/2019 (denné štúdium) 1. Počty žiakov a tried, ktoré možno prijať do prvého ročníka študijných odborov Podľa 65 ods. 1) Zákona č. 245/2008
PodrobnejšieVZTAH STUDENTŮ VŠ K DISCIPLÍNÁM TEORETICKÉ INFORMATIKY
5. vedecká konferencia doktorandov a mladých vedeckých pracovníkov LIMITA A DERIVÁCIA FUNKCIE UKÁŽKA KVANTITATÍVNEHO VÝSKUMU Ján Gunčaga The present paper is devoted to a qualitative research related to
PodrobnejšieSnímka 1
Fyzika - prednáška 11 Ciele 5. Fyzikálne polia 5.2 Elektrostatické pole 5.3 Jednosmerný elektrický prúd Zopakujte si Fyzikálne pole je definované ako... oblasť v určitom priestore, pričom v každom bode
PodrobnejšieObsah
Obsah str. 1. Základné pojmy pružnosti a pevnosti 1.1 Predmet a význam náuky o pružnosti a pevnosti 3 1.2 Z histórie oboru 3 1.3 Základné predpoklady o materiáli 4 1.4 Vonkajšie a vnútorné sily 5 1.5 Normálové
PodrobnejšieActa Mathematica Nitriensia Vol. 1, No. 2, p ISSN Význam geometrie v technickom vzdelávaní žiakov 2. stupňa základnej školy The Impor
Acta Mathematica Nitriensia Vol. 1, No. 2, p. 68 73 ISSN 2453-6083 Význam geometrie v technickom vzdelávaní žiakov 2. stupňa základnej školy The Importance of Geometry in Technical Education of Pupils
PodrobnejšieA 1
Matematika A :: Test na skúške (ukážka) :: 05 Daná je funkcia g : y 5 arccos a) Zistite oblasť definície funkcie b) vyjadrite inverznú funkciu g Zistite rovnice asymptot (so smernicou bez smernice) grafu
PodrobnejšieUNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH VZDELÁVACÍ PROGRAM Moderná didaktická technika v práci učiteľa Aktualizačné vzdelávanie prof. MUDr. Ladis
UNIVERZITA PAVLA JOZEFA ŠAFÁRIKA V KOŠICIACH VZDELÁVACÍ PROGRAM Moderná didaktická technika v práci učiteľa Aktualizačné vzdelávanie prof. MUDr. Ladislav Mirossay, DrSc. rektor Univerzita Pavla Jozefa
PodrobnejšieBez názvu - 1
Slovak University of Agriculture, Faculty of Engineering Otázky zo spoločných predmetov pre všetky študijné programy Odpovede zo spoločných predmetov pre všetky študijné programy Otázky z predmetov pre
PodrobnejšieMicrosoft PowerPoint - Sveda
Aktivity a návrhy Slovenskej matematickej spoločnosti JSMF Dušan Šveda Žilina, 9. februára 2016 Matematické vzdelávanie v kontexte STEM vzdelávania a potrieb praxe 1 Hlavné ciele činnosti SMS - vytvorenie
PodrobnejšieMicrosoft Word - Struktura IVP+ schval dol.doc
Štruktúra individuálneho vzdelávacieho programu pre žiakov s viacnásobným postihnutím vzdelávaných v triedach špeciálnych základných škôl podľa individuálnych vzdelávacích programov Ministerstvo školstva
PodrobnejšiePlyn dodávka - ŠK ( Úrad pre reguláciu sieťových odvetví Evidencia štandardov kvality za oblasť PLYN - DODÁVKA Číslo
(http://www.urso.gov.sk) Úrad pre reguláciu sieťových odvetví Evidencia štandardov kvality za oblasť PLYN - DODÁVKA Číslo transakcie: THOR-B94FTL-124632 Údaje o regulovanom subjekte:: Obchodné meno:* KORD
PodrobnejšieBEOSZTÁS KÉSZÍTÉS KÉZIKÖNYV
Predmet: Kontrola nákladov obchodu Oracle žiadosti, príjem a vymazávanie 1 Prístup do systému Oracle Zadajte svoje prihlasovacie meno a heslo a potom kliknite na "Login". (Prihlásiť) 2 Pre prípravu žiadostí
PodrobnejšieÚvod
Žilinská univerzita v Žiline Fakulta stavebná XX. ročník súťaže Študentskej vedeckej a odbornej činnosti stavebných fakúlt Českej a Slovenskej republiky Akademický rok 2018/2019 Názov práce ŠVOČ Meno a
PodrobnejšieMonday 25 th February, 2013, 11:54 Rozmerová analýza M. Gintner 1.1 Rozmerová analýza ako a prečo to funguje Skúsenost nás učí, že náš svet je poznate
Monday 25 th February, 203, :54 Rozmerová analýza M. Gintner. Rozmerová analýza ako a prečo to funguje Skúsenost nás učí, že náš svet je poznatel ný po častiach. Napriek tomu, že si to bežne neuvedomujeme,
PodrobnejšieUČEBNÉ PLÁNY na šk. rok 2017/18 trojročné učebné odbory 6475 H technicko-administratívny pracovník predmet skratka 1. ročník 2. ročník 3. ročník slove
UČEBNÉ PLÁNY na šk. rok 2017/18 trojročné učebné odbory 6475 H technicko-administratívny pracovník predmet skratka 1. ročník 2. ročník 3. ročník slovenský jazyk a literatúra SJL 2 2 2 anglický jazyk ANJ
Podrobnejšiebakalarska prezentacia.key
Inteligentné vyhľadávanie v systéme na evidenciu skautských družinových hier Richard Dvorský Základné pojmy Generátor družinoviek Inteligentné vyhľadávanie Ako to funguje Základné pojmy Skautská družina
PodrobnejšiePrezentácia programu PowerPoint
Aktivity k vyučovaniu fyziky na základnej škole PaedDr. Klára Velmovská, PhD. ODF FMFI UK v Bratislave PaedDr. Monika Vanyová, PhD. ZŠ Tvrdošovce Košice, 24. 11. 2015 Materiály na podporu vyučovania fyziky
Podrobnejšiegis7 prifuk
Kartografické aspekty GIS základné pojmy Kartografické aspekty GIS základné pojmy Referenčný elipsoid Geoid Povrch zeme Referenčný elipsoid Kartografické aspekty GIS základné pojmy Referenčný elipsoid
PodrobnejšieOdkiaľ a kam kráča slovenská demografia po roku 1993
Odkiaľ a kam kráča slovenská demografia po roku 1993 B. Bleha, B. Šprocha, B. Vaňo Květnová konference ČDS 2018, Brno Kde sme boli v roku 1993? Plusy Československá tradícia Dobré kontakty na českú demografiu
PodrobnejšiePrezentácia programu PowerPoint
Študijný program RASTLINY V ŽIVOTNOM PROSTREDÍ ANOTÁCIA stručná charakteristika Štúdium v programe Rastliny v životnom prostredí v rámci U3V ponúka študujúcim informácie o funkciách rastlín a vegetácie
PodrobnejšieJazykom riadená vizuálna pozornosť - konekcionistický model Igor Farkaš Katedra aplikovanej informatiky / Centrum pre kognitívnu vedu Fakulta matemati
Jazykom riadená vizuálna pozornosť - konekcionistický model Igor Farkaš Katedra aplikovanej informatiky / Centrum pre kognitívnu vedu Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského v Bratislave
PodrobnejšieZvýšenie kvality......
Testovanie 9-16 Výsledky celoslovenského testovania žiakov 9. ročníka ZŠ 15/16 Testovanie 9-16 Riadny termín 6. apríl 16 Náhradný termín 19. apríl 16 Administrované testy Test z matematiky Test zo slovenského
Podrobnejšie