Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020

Prepis

1 Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 Eukleidovské shodnosti v rovině Zbyněk Šír Matematický ústav UK Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 1 / 9

2 Eukleidovské shodnosti Definice: Zobrazení f : R n R n se nazývá shodné, jestliže pro každé dva body x, y R n platí x y = f(x) f(y). Věta: Shodná zobrazení f : R n R n jsou právě zobrazení tvaru f(x) = A x+p, kde p R n je libovolný vektor a A je matice n n splňující A T A = E. Souřadnice bodů i vektorů bude psát jako sloupcové vektory. Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 2 / 9

3 Důkaz Snadno ověříme, že každné zobrazení g(x) = A x+p, kde A T A = E je shodné. Definujme body O = [0,...,0], E i = [0,..., 0, 1, 0,...,0] pro i = 1,...,n. Mějme dáno nějaké shodné f : R n R n. Vektory E i O tvoří ON bázi a proto i f(e i ) f(o) musí tvořit ON bázi (jednotkovou délku máme přímo a kolmost máme z pravoúhlých trojúhelníků E i E j O). Sestrojme matici A, která má v i-tém sloupečku vektor f(e i ) f(o), ta je tedy orthonormální a definujme vektor p = f(o) a uvažujme shodnost g(x) = A x+p. Existuje inverzní zobrazení g 1 (x) = A T x A T p Zobrazení h = g 1 f zobrazuje body O a E i na sebe (nechává je na místě). Každé takové zobrazení už je identita a v důsledu f g. Předchozí bod plyne z toho, že když mají dva body stejnou vzdálenost od O a (jinou) stejnou vzdálenost od E i, pak už mají stejnou i-tou souřadnici. Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 3 / 9

4 Důsledky předchozí věty Shodná zobrazení jsou prostá. Všechny shodnosti prostoru R n tvoří grupu E(n). Její dimenze (počet stupňů volnosti) je n(n + 1)/2. Lineární zobrazení vektorového prostoru R n do sebe dané maticí A se nazývá asociované lineární zobrazení k f. Bodům, které se zobrazí na sebe říkáme samodružné body f(x) = x. Vlastním směrům asociovaného zobrazení říkáme samodružné směry. Shodné zobrazení nazveme přímé, když det A = 1 a nepřímé, když det A = 1. Reálná vlastní čísla matice A mohou být jen ±1. Přímé shodnosti tvoří podgrupu. Shodná zobrazení, kde A = E tvoří podgrupu posunutí, což je vlastně vektorový prostor R n. Shodná zobrazení, kde p = 0 tvoří podgrupu isometrií vektorového prostoru R n, která se označuje ON(n) a nazývá se ortonormální grupa. Jde o grupu ortonormálních matic. Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 4 / 9

5 Skládání shodných zobrazení Jak se shodná zobrazení vlastně skládají? Mějme f(x) = A x+p a g(x) = B x+q, pak g f(x) = (B A) x+(q+bp). Tedy grupová operace mezi dvojicemi má tvar (B, q) (A, p) = (B A, q+bp). Jedná se o klasický příklad semidirektního součinu Namísto můžeme psát ( x 1 E(n) = ON(n) R n. ) = x = A x+p ( A p 0 1 )( x 1 Skládání a inverze funguje tak jak má. Jedná se o vnoření E(n) do grupy regulárních matic GL(n+1). Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 5 / 9 ).

6 Shodnosti v rovině Věta: Každá přímá shodnost v R 2 má tvar x a b p x y = b a p y a každá nepřímá shodnost má tvar x a b p x y = b a p y x y 1 x y 1, kde a 2 + b 2 = 1. Důkaz: snadný Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 6 / 9

7 Jak parametrizovat tuto grupu? Kružnice a 2 + b 2 = 1 se parametrizuje jako a = cosα, b = sinα. Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 7 / 9

8 Jak parametrizovat tuto grupu? Kružnice a 2 + b 2 = 1 se parametrizuje jako a = cosα, b = sinα. Ale lze i racionálně stereografickou projekcí. Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 7 / 9

9 Jak parametrizovat tuto grupu? Kružnice a 2 + b 2 = 1 se parametrizuje jako a = cosα, b = sinα. Ale lze i racionálně stereografickou projekcí. a = 1 t2 2t 1+t2, b = 1+t2, kde t = tan(α/2). Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 7 / 9

10 Jak parametrizovat tuto grupu? Kružnice a 2 + b 2 = 1 se parametrizuje jako a = cosα, b = sinα. Ale lze i racionálně stereografickou projekcí. a = 1 t2 2t 1+t2, b = 1+t2, kde t = tan(α/2). [0,t] [cosα,sinα] = [ ] 1 t 2 2t 1+t, 2 1+t 2 [ 1, 0] α 2 α Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 7 / 9

11 Příklady Ověřte, že následující zobrazeníje shodnost reálné roviny a určete samodružné body a směry. x = 3 5 x 4 5 y + 1 (1) y = 4 5 x + 3 y 2. (2) 5 Nalezněte všechny shodnosti, pro které je bod [4, 0] a směry (1, 1) a (1, 1) samodružné. Rovnoměrně animujte přesun objektu v rovině z jedné polohy do druhé. Analyzujte a vykreslete kuželosečku s rovnicí 52x 2 72xy + 73y 2 280x + 290y = 0. Napište v prostoru rovnice osové souměrnosti podle přímky o parametrickém vyjádření x = 1+t, y = 2 t a z = 3t. Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 8 / 9

12 Klasifikace shodností v rovině Věta: Každá přímá shodnost v R 2 je bud posunutí, nebo otočení. Každá nepřímá shodnost je bud osová souměrnost, nebo posunutá osová souměrnost (směr posunutí je rovnoběžný osou). Důkaz: Určíme jaká mohou být vlastní čísla, vlastní vektory a samodružné body pro přímou shodnost a pro nepřímou shodnost. Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 9 / 9