6 Orientované grafy, Toky v sítích
|
|
|
- Lucie Křížková
- pred 4 rokmi
- Prehliadani:
Prepis
1 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích 6 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost (jako potrubní nebo počítačové sítě). Základní úlohou v této oblasti je problém nalezení maximálního toku v síti za podmínky respektování daných kapacit hran.
2 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích 6 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost (jako potrubní nebo počítačové sítě). Základní úlohou v této oblasti je problém nalezení maximálního toku v síti za podmínky respektování daných kapacit hran. Stručný přehled lekce * Definice a některé základní vlastnosti orientovaných grafů, souvislost. * Sítě s kapacitami hran, hledání maximálního toku a dualita. * Důsledky duality toku; vyšší souvislost, bipartitní párování, SRR.
3 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích 6.1 Základní pojmy orientovaných grafů Požadavek explicitně vyjádřit směr hrany přirozeně vede na následující definici orientovaného grafu, ve kterém hrany jsou uspořádané dvojice vrcholů.
4 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích 6.1 Základní pojmy orientovaných grafů Požadavek explicitně vyjádřit směr hrany přirozeně vede na následující definici orientovaného grafu, ve kterém hrany jsou uspořádané dvojice vrcholů. Definice 6.1. Orientovaný graf je uspoř. dvojice D = (V, E), kde E V V.
5 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích 6.1 Základní pojmy orientovaných grafů Požadavek explicitně vyjádřit směr hrany přirozeně vede na následující definici orientovaného grafu, ve kterém hrany jsou uspořádané dvojice vrcholů. Definice 6.1. Orientovaný graf je uspoř. dvojice D = (V, E), kde E V V. Pojmy podgrafu a isomorfismu se přirozeně přenášejí na orientované grafy.
6 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích 6.1 Základní pojmy orientovaných grafů Požadavek explicitně vyjádřit směr hrany přirozeně vede na následující definici orientovaného grafu, ve kterém hrany jsou uspořádané dvojice vrcholů. Definice 6.1. Orientovaný graf je uspoř. dvojice D = (V, E), kde E V V. Pojmy podgrafu a isomorfismu se přirozeně přenášejí na orientované grafy. Značení: Hrana (u, v) (zvaná také šipka) v orientovaném grafu D začíná ve vrcholu u a končí ve (míří do) vrcholu v. Opačná hrana (v, u) je různá od (u, v). Speciálně hrana tvaru (u, u) se nazývá orientovaná smyčka.
7 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích 6.1 Základní pojmy orientovaných grafů Požadavek explicitně vyjádřit směr hrany přirozeně vede na následující definici orientovaného grafu, ve kterém hrany jsou uspořádané dvojice vrcholů. Definice 6.1. Orientovaný graf je uspoř. dvojice D = (V, E), kde E V V. Pojmy podgrafu a isomorfismu se přirozeně přenášejí na orientované grafy. Značení: Hrana (u, v) (zvaná také šipka) v orientovaném grafu D začíná ve vrcholu u a končí ve (míří do) vrcholu v. Opačná hrana (v, u) je různá od (u, v). Speciálně hrana tvaru (u, u) se nazývá orientovaná smyčka. Orientované grafy odpovídají relacím, které nemusí být symetrické.
8 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Orientovaná cesta délky n 0 je následujícím grafem na n + 1 vrcholech n n + 1
9 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Orientovaná cesta délky n 0 je následujícím grafem na n + 1 vrcholech n n + 1 a orientovaná kružnice (také cyklus) délky n 1 vypadá takto: n...
10 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Orientovaná cesta délky n 0 je následujícím grafem na n + 1 vrcholech n n + 1 a orientovaná kružnice (také cyklus) délky n 1 vypadá takto: n... Definice: Počet hran začínajících ve vrcholu u orientovaného grafu D nazveme výstupním stupněm d + D (u) a počet hran končících v u nazveme vstupním stupněm d D (u). Součet všech výstupních stupňů je přirozeně roven součtu všech vstupních stupňů.
11 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Souvislost na orientovaných grafech Uvedeme si odstupňovaně tři základní pohledy: Slabá souvislost. Jedná se o tradiční souvislost na symetrizaci grafu D (tj. po zapomenutí směru šipek).
12 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Souvislost na orientovaných grafech Uvedeme si odstupňovaně tři základní pohledy: Slabá souvislost. Jedná se o tradiční souvislost na symetrizaci grafu D (tj. po zapomenutí směru šipek). Dosažitelnost (směrem ven ). Orientovaný graf D je dosažitelný směrem ven, pokud v něm existuje vrchol v V (D) takový, že každý vrchol x V (D) je dosažitelný orientovaným sledem z v. v
13 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Podrobným zkoumáním následujícího obrázku zjistíme, že jeho graf není dosažitelný směrem ven, nebot chybí možnost dosáhnout vrchol b úplně vpravo. Na druhou stranu po vypuštění b je zbylý graf dosažitelný ven z vrcholu a vlevo. a b
14 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Souvislost na orientovaných grafech, silná Silná souvislost. Necht je binární relace na vrcholové množině V (D) orientovaného grafu D taková, že u v právě když existuje dvojice orientovaných cest jedna z u do v a druhá z v do u v grafu D.
15 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Souvislost na orientovaných grafech, silná Silná souvislost. Necht je binární relace na vrcholové množině V (D) orientovaného grafu D taková, že u v právě když existuje dvojice orientovaných cest jedna z u do v a druhá z v do u v grafu D. Pak je relace ekvivalence. u v
16 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Souvislost na orientovaných grafech, silná Silná souvislost. Necht je binární relace na vrcholové množině V (D) orientovaného grafu D taková, že u v právě když existuje dvojice orientovaných cest jedna z u do v a druhá z v do u v grafu D. Pak je relace ekvivalence. u v Definice 6.2. Silné komponenty orientovaného grafu D jsou třídy ekvivalence relace uvedené v předchozím.
17 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Souvislost na orientovaných grafech, silná Silná souvislost. Necht je binární relace na vrcholové množině V (D) orientovaného grafu D taková, že u v právě když existuje dvojice orientovaných cest jedna z u do v a druhá z v do u v grafu D. Pak je relace ekvivalence. u v Definice 6.2. Silné komponenty orientovaného grafu D jsou třídy ekvivalence relace uvedené v předchozím. Orientovaný graf D je silně souvislý pokud má nejvýše jednu silnou komponentu.
18 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Pro ilustraci si mírně upravíme dříve prezentovaný orientovaný graf tak, že bude dosažitelný z nejlevějšího vrcholu. Je výsledek silně souvislý?
19 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Pro ilustraci si mírně upravíme dříve prezentovaný orientovaný graf tak, že bude dosažitelný z nejlevějšího vrcholu. Je výsledek silně souvislý? Ne, na obrázku jsou vyznačené jeho 4 silné komponenty. Zároveň uvádíme pro ilustraci obrázek kondenzace silných komponent tohoto grafu, což je acyklický orientovaný graf s vrcholy reprezentujícími zmíněné silné komponenty a směry hran mezi nimi.
20 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích 6.2 Definice sítě a toku Základní strukturou pro reprezentaci sítí je vážený orientovaný graf (přičemž implicitní směr hran je v tomto kontextu nezbytný).
21 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích 6.2 Definice sítě a toku Základní strukturou pro reprezentaci sítí je vážený orientovaný graf (přičemž implicitní směr hran je v tomto kontextu nezbytný). Definice 6.3. Sít je čtveřice S = (D, z, s, w), kde D je orientovaný graf, vrcholy z V (D), s V (D) jsou zdroj a stok, w : E(D) R + je kladné ohodnocení hran, zvané kapacita hran. z s
22 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích 6.2 Definice sítě a toku Základní strukturou pro reprezentaci sítí je vážený orientovaný graf (přičemž implicitní směr hran je v tomto kontextu nezbytný). Definice 6.3. Sít je čtveřice S = (D, z, s, w), kde D je orientovaný graf, vrcholy z V (D), s V (D) jsou zdroj a stok, w : E(D) R + je kladné ohodnocení hran, zvané kapacita hran. z s Poznámka: V praxi může být zdrojů a stoků více, ale v definici stačí pouze jeden zdroj a stok, z něhož / do nějž vedou hrany do ostatních zdrojů / stoků. (Dokonce pak různé zdroje a stoky mohou mít své kapacity.)
23 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Velikost toku v síti Značení: Pro jednoduchost píšeme ve výrazech značku e v pro hranu e končící ve vrcholu v a e v pro hranu e začínající z v.
24 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Velikost toku v síti Značení: Pro jednoduchost píšeme ve výrazech značku e v pro hranu e končící ve vrcholu v a e v pro hranu e začínající z v. Definice 6.4. Tok v síti S = (D, z, s, w) je funkce f : E(D) R + 0 e E(D) : 0 f(e) w(e), v V (D), v z, s : f(e) = f(e). e v e v splňující (respektování kapacity) (zachování substance)
25 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Velikost toku v síti Značení: Pro jednoduchost píšeme ve výrazech značku e v pro hranu e končící ve vrcholu v a e v pro hranu e začínající z v. Definice 6.4. Tok v síti S = (D, z, s, w) je funkce f : E(D) R + 0 e E(D) : 0 f(e) w(e), v V (D), v z, s : f(e) = f(e). e v e v Velikost toku f je dána výrazem f = f(e) f(e). e z e z splňující (respektování kapacity) (zachování substance)
26 Velikost toku v síti Značení: Pro jednoduchost píšeme ve výrazech značku e v pro hranu e končící ve vrcholu v a e v pro hranu e začínající z v. Definice 6.4. Tok v síti S = (D, z, s, w) je funkce f : E(D) R + 0 e E(D) : 0 f(e) w(e), v V (D), v z, s : f(e) = f(e). e v splňující (respektování kapacity) Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích e v Velikost toku f je dána výrazem f = f(e) f(e). e z e z (zachování substance) Značení: Tok a kapacitu hran v obrázku sítě budeme zjednodušeně zapisovat ve formátu F/C, kde F je hodnota toku na hraně a C je její kapacita. 2/5 2/4 2/2 z 0/1 3/3 0/3 0/2 0/2 3/5 0/1 3/4 s
27 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích 6.3 Nalezení maximálního toku Naším úkolem je najít co největší přípustný tok v dané síti. Pro jeho nalezení existují jednoduché a velmi rychlé algoritmy. Definice 6.5. Úloha hledání maximálního toku v síti S = (D, z, s, w). Úkolem je v síti S najít tok f ze zdroje z do stoku s podle Definice 9.4 takový, který maximalizuje velikost f.
28 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích 6.3 Nalezení maximálního toku Naším úkolem je najít co největší přípustný tok v dané síti. Pro jeho nalezení existují jednoduché a velmi rychlé algoritmy. Definice 6.5. Úloha hledání maximálního toku v síti S = (D, z, s, w). Úkolem je v síti S najít tok f ze zdroje z do stoku s podle Definice 9.4 takový, který maximalizuje velikost f. Tok velikosti 5 uvedený v ukázce v předchozí části nebyl optimální, nebot v této síti najdeme i tok velikosti 6: 2/5 2/4 2/2 z 0/1 3/3 0/3 0/2 3/5 0/2 0/1 3/4 s
29 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích 6.3 Nalezení maximálního toku Naším úkolem je najít co největší přípustný tok v dané síti. Pro jeho nalezení existují jednoduché a velmi rychlé algoritmy. Definice 6.5. Úloha hledání maximálního toku v síti S = (D, z, s, w). Úkolem je v síti S najít tok f ze zdroje z do stoku s podle Definice 9.4 takový, který maximalizuje velikost f. Tok velikosti 5 uvedený v ukázce v předchozí části nebyl optimální, nebot v této síti najdeme i tok velikosti 6: 2/5 3=2/4 2/2 z 0/1 3/3 1=0/3 0/2 0/2 4=3/5 0/1 Jak však poznáme, že větší tok již v dané síti neexistuje? 4=3/4 s
30 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Pojem řezu v síti Definice 6.6. Řez v síti S = (D, z, s, w) je podmnožina hran X E(D) taková, že v podgrafu D X (tj. po odebrání hran X z D) nezbude žádná orientovaná cesta ze z do s.
31 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Pojem řezu v síti Definice 6.6. Řez v síti S = (D, z, s, w) je podmnožina hran X E(D) taková, že v podgrafu D X (tj. po odebrání hran X z D) nezbude žádná orientovaná cesta ze z do s. Velikostí řezu X rozumíme součet kapacit hran z X, tj. X = e X w(e) z s
32 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Pojem řezu v síti Definice 6.6. Řez v síti S = (D, z, s, w) je podmnožina hran X E(D) taková, že v podgrafu D X (tj. po odebrání hran X z D) nezbude žádná orientovaná cesta ze z do s. Velikostí řezu X rozumíme součet kapacit hran z X, tj. X = e X w(e) z s Věta 6.7. Maximální velikost toku v síti je rovna minimální velikosti řezu.
33 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Pojem řezu v síti Definice 6.6. Řez v síti S = (D, z, s, w) je podmnožina hran X E(D) taková, že v podgrafu D X (tj. po odebrání hran X z D) nezbude žádná orientovaná cesta ze z do s. Velikostí řezu X rozumíme součet kapacit hran z X, tj. X = e X w(e) z s Věta 6.7. Maximální velikost toku v síti je rovna minimální velikosti řezu. V uvedeném obrázku nalezneme tok velikosti 5. Vyznačený řez má také velikost 5.
34 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Nenasycené cesty v síti Definice: Mějme sít S a v ní tok f. Nenasycená cesta P (v S vzhledem k f) je neorientovaná cesta v D mezi určenými vrcholy (obvykle ze z do s), tj. posloupnost navazujících libovolně orientovaných hran e 1, e 2,..., e m,
35 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Nenasycené cesty v síti Definice: Mějme sít S a v ní tok f. Nenasycená cesta P (v S vzhledem k f) je neorientovaná cesta v D mezi určenými vrcholy (obvykle ze z do s), tj. posloupnost navazujících libovolně orientovaných hran e 1, e 2,..., e m, kde f(e i ) < w(e i ) pro e i ve směru ze z do s a f(e j ) > 0 pro e j jinak. 3/4 1/2 1/1 2/3 2/4 z s rezerva kapacity: > 0
36 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Nenasycené cesty v síti Definice: Mějme sít S a v ní tok f. Nenasycená cesta P (v S vzhledem k f) je neorientovaná cesta v D mezi určenými vrcholy (obvykle ze z do s), tj. posloupnost navazujících libovolně orientovaných hran e 1, e 2,..., e m, kde f(e i ) < w(e i ) pro e i ve směru ze z do s a f(e j ) > 0 pro e j jinak. 3/4 1/2 1/1 2/3 2/4 z s rezerva kapacity: > 0 Hodnotě w(e i ) f(e i ) > 0 pro hrany e i ve směru z u do v a hodnotě f(e j ) > 0 pro hrany e j v opačném směru říkáme rezerva kapacity hran. Nenasycená cesta je tudíž cesta s kladnými rezervami kapacit všech hran.
37 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Metoda 6.8. Maximální tok vylepšováním nenasycených cest. Základní myšlenkou této jednoduché metody hledání maximálního toku v dané síti je prostě opakovaně vylepšovat tok podél nalezených nenasycených cest. 3/4 1/2 1/1 2/3 2/4 z s rezerva kapacity: > 0
38 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Metoda 6.8. Maximální tok vylepšováním nenasycených cest. Základní myšlenkou této jednoduché metody hledání maximálního toku v dané síti je prostě opakovaně vylepšovat tok podél nalezených nenasycených cest. 3/4 1/2 1/1 2/3 2/4 z s rezerva kapacity: > 0 min. rezerva r = +1 P z 4/4 2/2 0/1 1/3 3/4 s
39 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Metoda 6.8. Maximální tok vylepšováním nenasycených cest. Základní myšlenkou této jednoduché metody hledání maximálního toku v dané síti je prostě opakovaně vylepšovat tok podél nalezených nenasycených cest. 3/4 1/2 1/1 2/3 2/4 z s rezerva kapacity: > 0 min. rezerva r = +1 P z 4/4 2/2 0/1 1/3 3/4 s Pro rekapitulaci, náš tok se vylepší následovně; pro hrany e i E(P ) ve směru ze z do s zvýšíme tok na f (e i ) = f(e i ) + r, pro hrany e j E(P ) ve směru ze s do z snížíme tok na f (e j ) = f(e j ) r. Výsledný tok f pak bude opět přípustný.
40 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích z./4./3./2./1./1./4./1 Algoritmus 6.9. Ford Fulkersonův pro tok v síti. Vstup: Sít S = (D, z, s, w) podle Definice 9.3. Tok f (0, 0,... 0). Dále opakujeme následující: Prohledáváním grafu najdeme množinu U vrcholů D, do kterých se dostaneme ze z po nenasycených cestách. Pokud s U, necht P značí nalezenou nenasycenou cestu v S ze z do s. Zvětšíme tok f o minimální rezervu kapacity hran v P. Opakujeme kroky výše, dokud nenastane s U../2./4 s
41 z 0/4./4 0/3./3 0/2./2 0/1./1 0/1./1 0/4./4 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích./1 0/1 Algoritmus 6.9. Ford Fulkersonův pro tok v síti. Vstup: Sít S = (D, z, s, w) podle Definice 9.3. Tok f (0, 0,... 0). Dále opakujeme následující:./2 0/2./4 0/4 Prohledáváním grafu najdeme množinu U vrcholů D, do kterých se dostaneme ze z po nenasycených cestách. Pokud s U, necht P značí nalezenou nenasycenou cestu v S ze z do s. Zvětšíme tok f o minimální rezervu kapacity hran v P. Opakujeme kroky výše, dokud nenastane s U. Výstup: Vypíšeme maximální tok f a také minimální řez jako množinu všech hran vedoucích z U do V (D) U. s tok = 0
42 z 0/4./4 0/3./3 0/2./2 0/1./1 0/1./1 0/4./4 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích./1 0/1 Algoritmus 6.9. Ford Fulkersonův pro tok v síti. Vstup: Sít S = (D, z, s, w) podle Definice 9.3. Tok f (0, 0,... 0). Dále opakujeme následující:./2 0/2./4 0/4 Prohledáváním grafu najdeme množinu U vrcholů D, do kterých se dostaneme ze z po nenasycených cestách. Pokud s U, necht P značí nalezenou nenasycenou cestu v S ze z do s. Zvětšíme tok f o minimální rezervu kapacity hran v P. Opakujeme kroky výše, dokud nenastane s U. Výstup: Vypíšeme maximální tok f a také minimální řez jako množinu všech hran vedoucích z U do V (D) U. s nenasyceno tok = 0
43 z 0/4 1/4./4 0/3./3 0/2./2 0/1./1 0/1 1/1./1 0/4./4 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích./1 0/1 Algoritmus 6.9. Ford Fulkersonův pro tok v síti. Vstup: Sít S = (D, z, s, w) podle Definice 9.3. Tok f (0, 0,... 0). Dále opakujeme následující:./2 0/2 1/2./4 0/4 Prohledáváním grafu najdeme množinu U vrcholů D, do kterých se dostaneme ze z po nenasycených cestách. Pokud s U, necht P značí nalezenou nenasycenou cestu v S ze z do s. Zvětšíme tok f o minimální rezervu kapacity hran v P. Opakujeme kroky výše, dokud nenastane s U. Výstup: Vypíšeme maximální tok f a také minimální řez jako množinu všech hran vedoucích z U do V (D) U. s nenasyceno tok = 01
44 z 0/4 1/4./4 0/3./3 0/2./2 0/1./1 0/1 1/1./1 0/4./4 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích./1 0/1 Algoritmus 6.9. Ford Fulkersonův pro tok v síti. Vstup: Sít S = (D, z, s, w) podle Definice 9.3. Tok f (0, 0,... 0). Dále opakujeme následující:./2 0/2 1/2./4 0/4 Prohledáváním grafu najdeme množinu U vrcholů D, do kterých se dostaneme ze z po nenasycených cestách. Pokud s U, necht P značí nalezenou nenasycenou cestu v S ze z do s. Zvětšíme tok f o minimální rezervu kapacity hran v P. Opakujeme kroky výše, dokud nenastane s U. Výstup: Vypíšeme maximální tok f a také minimální řez jako množinu všech hran vedoucích z U do V (D) U. s nenasyceno tok = 01
45 z 0/4 1/4./4 0/3 3/3./3 0/2./2 0/1./1 0/1 1/1./1 0/4 3/4./4 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích./1 0/1 Algoritmus 6.9. Ford Fulkersonův pro tok v síti. Vstup: Sít S = (D, z, s, w) podle Definice 9.3. Tok f (0, 0,... 0). Dále opakujeme následující:./2 0/2 1/2./4 0/4 3/4 Prohledáváním grafu najdeme množinu U vrcholů D, do kterých se dostaneme ze z po nenasycených cestách. Pokud s U, necht P značí nalezenou nenasycenou cestu v S ze z do s. Zvětšíme tok f o minimální rezervu kapacity hran v P. Opakujeme kroky výše, dokud nenastane s U. Výstup: Vypíšeme maximální tok f a také minimální řez jako množinu všech hran vedoucích z U do V (D) U. s nenasyceno tok = 01 4
46 z 0/4 1/4./4 0/3 3/3./3 0/2./2 0/1./1 0/1 1/1./1 0/4 3/4./4 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích./1 0/1 Algoritmus 6.9. Ford Fulkersonův pro tok v síti. Vstup: Sít S = (D, z, s, w) podle Definice 9.3. Tok f (0, 0,... 0). Dále opakujeme následující:./2 0/2 1/2./4 0/4 3/4 Prohledáváním grafu najdeme množinu U vrcholů D, do kterých se dostaneme ze z po nenasycených cestách. Pokud s U, necht P značí nalezenou nenasycenou cestu v S ze z do s. Zvětšíme tok f o minimální rezervu kapacity hran v P. Opakujeme kroky výše, dokud nenastane s U. Výstup: Vypíšeme maximální tok f a také minimální řez jako množinu všech hran vedoucích z U do V (D) U. s nenasyceno tok = 01 4
47 z 0/4 1/4 2/4./4 0/3 3/3./3 0/2 1/2./2 0/1./1 0/1 1/1./1 0/4 3/4 4/4./4 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích./1 0/1 Algoritmus 6.9. Ford Fulkersonův pro tok v síti. Vstup: Sít S = (D, z, s, w) podle Definice 9.3. Tok f (0, 0,... 0). Dále opakujeme následující:./2 0/2 1/2./4 0/4 3/4 4/4 Prohledáváním grafu najdeme množinu U vrcholů D, do kterých se dostaneme ze z po nenasycených cestách. Pokud s U, necht P značí nalezenou nenasycenou cestu v S ze z do s. Zvětšíme tok f o minimální rezervu kapacity hran v P. Opakujeme kroky výše, dokud nenastane s U. Výstup: Vypíšeme maximální tok f a také minimální řez jako množinu všech hran vedoucích z U do V (D) U. s nenasyceno tok = 01 45
48 z 0/4 1/4 2/4./4 0/3 3/3./3 0/2 1/2./2 0/1./1 U 1/1 0/1./1 0/4 3/4 4/4./4 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích./1 0/1 Algoritmus 6.9. Ford Fulkersonův pro tok v síti. Vstup: Sít S = (D, z, s, w) podle Definice 9.3. Tok f (0, 0,... 0). Dále opakujeme následující:./2 0/2 1/2./4 0/4 3/4 4/4 Prohledáváním grafu najdeme množinu U vrcholů D, do kterých se dostaneme ze z po nenasycených cestách. Pokud s U, necht P značí nalezenou nenasycenou cestu v S ze z do s. Zvětšíme tok f o minimální rezervu kapacity hran v P. Opakujeme kroky výše, dokud nenastane s U. Výstup: Vypíšeme maximální tok f a také minimální řez jako množinu všech hran vedoucích z U do V (D) U. s nenasyceno nasyceno tok = 01 45
49 z 0/4 1/4 2/4./4 0/3 3/3./3 0/2 1/2./2 0/1./1 U 1/1 0/1./1 0/4 3/4 4/4./4 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích./1 0/1 Algoritmus 6.9. Ford Fulkersonův pro tok v síti. Vstup: Sít S = (D, z, s, w) podle Definice 9.3. Tok f (0, 0,... 0). Dále opakujeme následující:./2 0/2 1/2./4 0/4 3/4 4/4 Prohledáváním grafu najdeme množinu U vrcholů D, do kterých se dostaneme ze z po nenasycených cestách. Pokud s U, necht P značí nalezenou nenasycenou cestu v S ze z do s. Zvětšíme tok f o minimální rezervu kapacity hran v P. Opakujeme kroky výše, dokud nenastane s U. Výstup: Vypíšeme maximální tok f a také minimální řez jako množinu všech hran vedoucích z U do V (D) U. s nenasyceno nasyceno tok = 01 45
50 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Důkaz správnosti Algoritmu 9.9: Pro každý tok f a každý řez X v síti S platí f X. Jestliže po zastavení algoritmu s tokem f nalezneme v síti S řez o stejné velikosti X = f, je jasné, že jsme našli maximální možný tok v síti S. (Pozor, zastavení algoritmu jsme zatím nezdůvodnili.)
51 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Důkaz správnosti Algoritmu 9.9: Pro každý tok f a každý řez X v síti S platí f X. Jestliže po zastavení algoritmu s tokem f nalezneme v síti S řez o stejné velikosti X = f, je jasné, že jsme našli maximální možný tok v síti S. (Pozor, zastavení algoritmu jsme zatím nezdůvodnili.) Takže dokažme, že po zastavení algoritmu nastane rovnost f = X, kde X je vypsaný řez mezi U a zbytkem grafu D. Vezměme tok f v S bez nenasycené cesty ze z do s. Pak množina U z algoritmu neobsahuje s. U z f(e) = w(e) s f(e) = 0
52 Důkaz správnosti Algoritmu 9.9: Pro každý tok f a každý řez X v síti S platí f X. Jestliže po zastavení algoritmu s tokem f nalezneme v síti S řez o stejné velikosti X = f, je jasné, že jsme našli maximální možný tok v síti S. (Pozor, zastavení algoritmu jsme zatím nezdůvodnili.) Takže dokažme, že po zastavení algoritmu nastane rovnost f = X, kde X je vypsaný řez mezi U a zbytkem grafu D. Vezměme tok f v S bez nenasycené cesty ze z do s. Pak množina U z algoritmu neobsahuje s. U z f(e) = w(e) s f(e) = 0 Nyní má každá hrana e U (odch. z U) plný tok f(e) = w(e) a každá hrana e U (přich. do U) tok f(e) = 0, takže f = e U f(e) e U f(e) = e U f(e) = e X w(e) = X. Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích
53 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Důsledky Ford Fulkersonova algoritmu Z důkazu Algoritmu 9.9 pak odvodíme několik zajímavých faktů: Pokud Algoritmus 9.9 vždy skončí, dokážeme tím i platnost Věty 9.7.
54 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Důsledky Ford Fulkersonova algoritmu Z důkazu Algoritmu 9.9 pak odvodíme několik zajímavých faktů: Pokud Algoritmus 9.9 vždy skončí, dokážeme tím i platnost Věty 9.7. Pro celočíselné kapacity hran sítě S Algoritmus 9.9 vždy skončí. 3/4 1/2 1/1 2/3 2/4 z s rezerva kapacity: > 0
55 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Důsledky Ford Fulkersonova algoritmu Z důkazu Algoritmu 9.9 pak odvodíme několik zajímavých faktů: Pokud Algoritmus 9.9 vždy skončí, dokážeme tím i platnost Věty 9.7. Pro celočíselné kapacity hran sítě S Algoritmus 9.9 vždy skončí. 3/4 1/2 1/1 2/3 2/4 z s rezerva kapacity: > 0 Pokud jsou kapacity hran sítě S celočíselné, opt. tok také vyjde celočíselně.
56 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích 6.4 Zobecněné použití sítí 6.4 Zobecněné použití sítí Sítě s kapacitami vrcholů: U sítě můžeme zadat kapacity vrcholů, neboli kapacitní váhová funkce je dána jako w : E(D) V (D) R a b z s a b z s
57 6.4 Zobecněné použití sítí Sítě s kapacitami vrcholů: U sítě můžeme zadat kapacity vrcholů, neboli kapacitní váhová funkce je dána jako w : E(D) V (D) R +. 5 z b 4 z 3 a 2 b 4 a 5 s 5 s Sítě s dolními kapacitami: Pro hrany sítě lze zadat také jejich minimální kapacity, tedy dolní meze přípustného toku, jako váhovou funkci l : E(D) R + 0. l(e) f(e) w(e) Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích
58 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Bipartitní párování Definice: Párování v (nyní bipartitním) grafu G je podmnožina hran M E(G) taková, že žádné dvě hrany z M nesdílejí koncový vrchol.
59 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Bipartitní párování Definice: Párování v (nyní bipartitním) grafu G je podmnožina hran M E(G) taková, že žádné dvě hrany z M nesdílejí koncový vrchol. Metoda Nalezení bipartitního párování Pro daný bipartitní graf G s vrcholy rozdělenými do množin A, B sestrojíme sít S následovně: A B 1 1 z s 1 1
60 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Bipartitní párování Definice: Párování v (nyní bipartitním) grafu G je podmnožina hran M E(G) taková, že žádné dvě hrany z M nesdílejí koncový vrchol. Metoda Nalezení bipartitního párování Pro daný bipartitní graf G s vrcholy rozdělenými do množin A, B sestrojíme sít S následovně: A B 1 1 z s 1 1 Hrany sítě S orientujeme od zdroje do stoku a přiřadíme jim kapacity 1.
61 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Bipartitní párování Definice: Párování v (nyní bipartitním) grafu G je podmnožina hran M E(G) taková, že žádné dvě hrany z M nesdílejí koncový vrchol. Metoda Nalezení bipartitního párování Pro daný bipartitní graf G s vrcholy rozdělenými do množin A, B sestrojíme sít S následovně: A B 1 1 z s 1 1 Hrany sítě S orientujeme od zdroje do stoku a přiřadíme jim kapacity 1. Nyní najdeme (celočíselný) maximální tok v S Algoritmem 9.9. Do párování vložíme ty hrany grafu G, které mají nenulový tok.
62 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Výběr různých reprezentantů Definice: Necht M 1, M 2,..., M k jsou neprázdné množiny. Systémem různých reprezentantů množin M 1, M 2,..., M k nazýváme takovou posloupnost různých prvků (x 1, x 2,..., x k ), že x i M i pro i = 1, 2,..., k.
63 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Výběr různých reprezentantů Definice: Necht M 1, M 2,..., M k jsou neprázdné množiny. Systémem různých reprezentantů množin M 1, M 2,..., M k nazýváme takovou posloupnost různých prvků (x 1, x 2,..., x k ), že x i M i pro i = 1, 2,..., k. Věta (Hall) Necht M 1, M 2,..., M k jsou neprázdné množiny. Pro tyto množiny existuje systém různých reprezentantů, právě když platí J {1, 2,..., k} : M j J, j J neboli pokud sjednocení libovolné skupiny z těchto množin má alespoň tolik prvků, kolik množin je sjednoceno. Důkaz lze podat konstrukcí vhodné sítě podobné té v Metodě 9.11:
64 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Výběr různých reprezentantů Definice: Necht M 1, M 2,..., M k jsou neprázdné množiny. Systémem různých reprezentantů množin M 1, M 2,..., M k nazýváme takovou posloupnost různých prvků (x 1, x 2,..., x k ), že x i M i pro i = 1, 2,..., k. Věta (Hall) Necht M 1, M 2,..., M k jsou neprázdné množiny. Pro tyto množiny existuje systém různých reprezentantů, právě když platí J {1, 2,..., k} : M j J, j J neboli pokud sjednocení libovolné skupiny z těchto množin má alespoň tolik prvků, kolik množin je sjednoceno. Důkaz lze podat konstrukcí vhodné sítě podobné té v Metodě 9.11: Použijí se speciální vrcholy u a v odpovídající zdroji a stoku; další vrcholy reprezentují (zleva) množiny a (vpravo) prvky naší úlohy a
65 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 19 FI: IB000: Toky v sítích Výběr různých reprezentantů Definice: Necht M 1, M 2,..., M k jsou neprázdné množiny. Systémem různých reprezentantů množin M 1, M 2,..., M k nazýváme takovou posloupnost různých prvků (x 1, x 2,..., x k ), že x i M i pro i = 1, 2,..., k. Věta (Hall) Necht M 1, M 2,..., M k jsou neprázdné množiny. Pro tyto množiny existuje systém různých reprezentantů, právě když platí J {1, 2,..., k} : M j J, j J neboli pokud sjednocení libovolné skupiny z těchto množin má alespoň tolik prvků, kolik množin je sjednoceno. Důkaz lze podat konstrukcí vhodné sítě podobné té v Metodě 9.11: Použijí se speciální vrcholy u a v odpovídající zdroji a stoku; další vrcholy reprezentují (zleva) množiny a (vpravo) prvky naší úlohy a ostatní hrany mimo zdrojové a stokové (kapacity 1) vždy spojují množinu M j se všemi jejími prvky x i.
Klasická metóda CPM
Operačná analýza 2-02a Klasická metóda CPM Úvod Je daná úloha časového plánovania U s množinou elementárnych činností E a reálnou funkciou c: E R ktorá každej činnosti A E priradí jej dobu trvania c(a).
Microsoft Word - skripta3b.doc
6. Vlastnosti binárnych relácií V tejto časti sa budeme venovať šiestim vlastnostiam binárnych relácií. Najprv si uvedieme ich definíciu. Reláciu R definovanú v množine M nazývame: a ) reflexívnou, ak
Vypracovane otazky k bakalarskym statnicim
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika študenti MFF 14. května 2018 1 Vážený študent/čitateľ, toto je zbierka vypracovaných otázok pre bakalárske skúšky Informatikov. Otázky boli vypracované
Microsoft Word - Transparencies03.doc
3. prednáška Teória množín II relácie o operácie nad reláciami o rovnosť o usporiadanosť funkcie o zložená funkcia o inverzná funkcia. Verzia: 20. 3. 2006 Priesvitka: 1 Relácie Definícia. Nech X a Y sú
Microsoft Word - Argumentation_presentation.doc
ARGUMENTÁCIA V. Kvasnička Ústav aplikovanej informatiky FIIT STU Seminár UI, dňa 21.11.2008 Priesvitka 1 Úvodné poznámky Argumentácia patrí medzi dôležité aspekty ľudskej inteligencie. Integrálnou súčasťou
Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek doc. RNDr. Štefan PEŠKO, CSc. Katedra matematických metód, Fa
Podpora metód operačného výskumu pri navrhovaní systému liniek doc. RNDr. Štefan PEŠKO, CSc. stefan.pesko@fri.uniza.sk Katedra matematických metód, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita v
8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1.2 Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru
8 Cvičenie 1.1 Dokážte, že pre ľubovoľné body X, Y, Z platí X + Y Z = Z + Y X. 1. Dokážte, že pre ľubovoľné body A, B, D, E, F, G afinného priestoru P platí F B = F A, BD = AE, DG = EG F = G. 1.3 Dokážte
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú in
Metódy dokazovanie v matematike 1 Základné pojmy Matematika exaktná veda vybudovaná DEDUKTÍVNE ZÁKLADNÉ POJMY základy každej matematickej teórie sú intuitívne jasné a názorné napr. prirodzené čísla, zlomok,
Operačná analýza 2
Súradnicové sústavy a zobrazenia Súradnicové sústavy v rovine (E 2 ) 1. Karteziánska súradnicová sústava najpoužívanejšia súradnicová sústava; určená začiatkom O, kolmými osami x, y a rovnakými jednotkami
Microsoft Word - Zaver.pisomka_januar2010.doc
Písomná skúška z predmetu lgebra a diskrétna matematika konaná dňa.. 00. príklad. Dokážte metódou vymenovaním prípadov vlastnosť: Tretie mocniny celých čísel sú reprezentované celými číslami ktoré končia
1
1. CHARAKTERISTIKA DIGITÁLNEHO SYSTÉMU A. Charakteristika digitálneho systému Digitálny systém je dynamický systém (vo všeobecnosti) so vstupnými, v čase premennými veličinami, výstupnými premennými veličinami
Online fakturácia
Online fakturácia (HU legislativa) E S O 9 i n t e r n a t i o n a l a. s. U M l ý n a 2 2 1 4 1 0 0, P r a h a Strana 1 (celkem 9) Online fakturácia Na základe znení Zákona o DPH (2007. évi CXXVII. Törvény
Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, prič
Vzorové riešenia úlohy 4.1 Bodovanie Úvod do TI 2010 Dôvod prečo veľa z Vás malo málo bodov bolo to, že ste sa nepokúsili svoje tvrdenia dokázať, pričom to je veľmi dôležitá súčasť úlohy. Body sa udeľovali
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Katedra informatiky PLATNOSŤ BERGE-FULKERSONOVEJ HYPOTÉZY PRE ŠPECIÁLNE TR
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Katedra informatiky PLATNOSŤ BERGE-FULKERSONOVEJ HYPOTÉZY PRE ŠPECIÁLNE TRIEDY SNARKOV Peter Gazdík DIPLOMOVÁ PRÁCA Vedúci diplomovej
Paralelné algoritmy, cast c. 2
Paralelné algoritmy, čast č. 2 František Mráz Kabinet software a výuky informatiky, MFF UK, Praha Paralelné algoritmy, 2009/2010 František Mráz (KSVI MFF UK) Paralelné algoritmy, čast č. 2 Paralelné algoritmy,
Funkcie viac premenných
Funkcie viac premenných January 21, 215 Regulárne zobrazenia Nech je zobrazenie X = Φ(T) dané rovnicami: x 1 = ϕ 1 (t 1, t 2,, t n), x 2 = ϕ 2 (t 1, t 2,, t n), x n = ϕ n(t 1, t 2,, t n), a ak majú funkcie
Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1
Neineárne programovanie zimný semester 2018/19 M. Trnovská, KAMŠ, FMFI UK 1 Metódy riešenia úloh nelineárneho programovania využívajúce Lagrangeovu funkciu 2 Veta: Bod ˆx je optimálne riešenie úlohy (U3)
Zoznamové farbenia grafov
Katedra Informatiky Fakulta Matematiky, Fyziky a Informatiky Univerzita Komenského, Bratislava Zoznamové farbenia grafov (Diplomová práca) Lukáš Špalek Vedúca: RNDr. Edita Máčajová, PhD. Bratislava, 2010
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 2009/ ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných r
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 009/010 59. ročník MO Riešenia úloh česko-poľsko-slovenského stretnutia 1. Určte všetky trojice (a, b, c) kladných reálnych čísel, ktoré sú riešením sústavy rovníc a b c
Susedov rozli²ujúci index grafu Bakalárska práca pre ²tudijný program Matematika alebo Ekonomická a nan ná matematika v akademickom roku 2019/20 vedúc
Bakalárska práca pre ²tudijný program Matematika alebo Ekonomická a nan ná matematika v akademickom roku 2019/20 vedúci práce pokra ovanie v diplomovej práci vítané G graf, C mnoºina farieb, ϕ : E(G) C
Relačné a logické bázy dát
Unifikácia riešenie rovníc v algebre termov Ján Šturc Zima, 2010 Termy a substitúcie Definícia (term): 1. Nech t 0,..., t n -1 sú termy a f je n-árny funkčný symbol, potom aj f(t 0,..., t n -1 ) je term.
12Prednaska
propozičná logika vs. logika prvého rádu globálna vs. kompozičná vetviaci sa čas vs. lineárny čas časové body vs. časové intervaly diskrétny čas vs. spojitý čas minulosť vs. budúcnosť distribovanosť vs.
Pokrocilé spracovanie obrazu - Fourierová transformácia
Pokročilé spracovanie obrazu - Fourierová transformácia Ing. Viktor Kocur viktor.kocur@fmph.uniba.sk DAI FMFI UK 29.11.2017 Obsah 1 Segmentácia O čo ide 2 Watershed Princíp Postup 3 k-means clustering
STRUČNÝ NÁVOD KU IP-COACHU
STRUČNÝ NÁVOD KU COACHU 6 Otvorenie programu a voľba úlohy na meranie Otvorenie programu Program COACH na meranie otvoríme kliknutím na ikonu Autor na obrazovke, potom zvolíme Užívateľskú úroveň Pokročilý
Kupna_zmluva_o_dielo_2013
KÚPNA ZMLUVA ZMLUVA O DIELO prednáška S E M I N Á R J U S T I Č N Á A K A D É M I A S R M A R E C 2 0 1 3 J U D R. A N D R E A M O R A V Č Í K O V Á, P H D. S U D K Y Ň A K R A J S K É H O S Ú D U V T
BEOSZTÁS KÉSZÍTÉS KÉZIKÖNYV
Predmet: Kontrola nákladov obchodu Oracle žiadosti, príjem a vymazávanie 1 Prístup do systému Oracle Zadajte svoje prihlasovacie meno a heslo a potom kliknite na "Login". (Prihlásiť) 2 Pre prípravu žiadostí
NÁVRH UČEBNÝCH OSNOV PRE 1
PROGRAMOVANIE UČEBNÉ OSNOVY do ŠkVP Charakteristika voliteľného učebného predmetu Programovanie Programovanie rozširuje a prehlbuje žiacke vedomosti z predchádzajúcich povinného predmetu Informatika. Kompetencie
Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy
Metrické konštrukcie elipsy Soňa Kudličková, Alžbeta Mackovová Elipsu, ako regulárnu kužeľosečku, môžeme študovať synteticky (konštrukcie bodov elipsy) alebo analyticky (výpočet súradníc bodov elipsy).
Microsoft Word - 5I-PP3-0X - StoryMap - v.2. - doplnene (1)
5I-PP3-14 DOBRÉ PRAE KULTURNÍ CESTOVNÍ RUCH Tato dobrá praxe byla zdokumentována partnerem, PP3 které byl přidán kód č. 5I-PP3-14 (Výše uvedený kód: pouze pro potřeby vedoucího partnera) 1. VŠEOBECNÉ INFORMACE
Informačná a modelová podpora pre kvantifikáciu prvkov daňovej sústavy SR
Nelineárne optimalizačné modely a metódy Téma prednášky č. 5 Prof. Ing. Michal Fendek, CSc. Katedra operačného výskumu a ekonometrie Ekonomická univerzita Dolnozemská 1 852 35 Bratislava Označme ako množinu
Prenosový kanál a jeho kapacita
Prenosový kanál a jeho kapacita Stanislav Palúch Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita 5. mája 2011 Stanislav Palúch, Fakulta riadenia a informatiky, Žilinská univerzita Prenosový kanál a
Microsoft Word - FRI”U M 2005 forma B k¾úè.doc
Fakulta riadenia a informatik Žilinskej univerzit ( ) ( 6 ) 6 = 3 () 8 (D) 8 m Závislosť hmotnosti m častice od jej rýchlosti v je vjadrená vzťahom m =, kde m je v c pokojová hmotnosť častice, c je rýchlosť
Obsah 1 Úvod Predhovor Sylaby a literatúra Grupy a podgrupy 4 2
Obsah 1 Úvod 3 1.1 Predhovor...................................... 3 1.2 Sylaby a literatúra................................. 3 2 Grupy a podgrupy 4 2.1 Základné vlastnosti grúp..............................
Priebeh funkcie
Technická univerzita Košice monika.molnarova@tuke.sk Obsah 1 Monotónnosť funkcie Lokálne extrémy funkcie Globálne (absolútne) extrémy funkcie Konvexnosť a konkávnosť funkcie Monotónnosť funkcie Monotónnosť
MO_pred1
Modelovanie a optimalizácia Ľudmila Jánošíková Katedra dopravných sietí Fakulta riadenia a informatiky Žilinská univerzita, Žilina Ludmila.Janosikova@fri.uniza.sk 041/5134 220 Modelovanie a optimalizácia
Poznámky k cvičeniu č. 2
Formálne jazyky a automaty (1) Zimný semester 2017/18 Zobrazenia, obrazy a inverzné obrazy Poznámky k cvičeniu č. 2 Peter Kostolányi 4. októbra 2017 Nech f : X Y je zobrazenie. Obraz prvku x X pri zobrazení
EN 13813: VYHLÁSENIE O PARAMETROCH PODĽA PRÍLOHY III NARIADENIA (EÚ) č. 574/2014 Sikafloor -2 SynTop č JEDINE
EN 13813: 2002 10 VYHLÁSENIE O PARAMETROCH PODĽA PRÍLOHY III NARIADENIA (EÚ) č. 574/2014 Sikafloor -2 SynTop č. 02 08 15 01 002 0 000010 1180 1 JEDINEČNÝ IDENTIFIKAČNÝ KÓD TYPU VÝROBKU: 2 ZAMÝŠĽANÉ POUŽITIE/POUŽITIA:
MergedFile
EN 13813: 2002 17 1391 VYHLÁSENIE O PARAMETROCH PODĽA PRÍLOHY III NARIADENIA (EÚ) č. 574/2014 č. 1 JEDINEČNÝ IDENTIFIKAČNÝ KÓD TYPU VÝROBKU: 2 ZAMÝŠĽANÉ POUŽITIE/POUŽITIA: 3 VÝROBCA: Sika CZ, s.r.o. Bystrcká
GSM alarm s WiFi Návod k obsluhe Kontakt na dodavateľa: Nesluša
GSM alarm s WiFi Návod k obsluhe Kontakt na dodavateľa: Nesluša 803. 1. Popis prístroja Na prednej strane hlavného ovládacieho panelu sa nachádza displej, reproduktor a klávesnice. Pod zadným krytom nájdete
MergedFile
EN 13813: 2002 17 1391 VYHLÁSENIE O PARAMETROCH č. 78702405 1 JEDINEČNÝ IDENTIFIKAČNÝ KÓD TYPU VÝROBKU: 78702405 2 ZAMÝŠĽANÉ POUŽITIE/POUŽITIA: 3 VÝROBCA: Sika CZ, s.r.o. Bystrcká 1132/36 CZ-624 00 Brno
SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE FAKULTA INFORMATIKY A INFORMAČNÝCH TECHNOLÓGIÍ Metodika archivácie verzií HW Tímový projekt Stratos FIIT M
SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE FAKULTA INFORMATIKY A INFORMAČNÝCH TECHNOLÓGIÍ Metodika archivácie verzií HW Tímový projekt Stratos FIIT MANAŽMENT V SOFTVÉROVOM INŽINIERSTVE 2016 Ján Pánis
2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom
2.5. Dotyčnica krivky, dotykový kužeľ. Nech f je krivka a nech P V (f) (t.j. m P (f) 1). Ak m P (f) = r a l je taká priamka, že I P (f, l) > r, potom l nazývame dotyčnicou krivky f v bode P. Pre daný bod
Měření rychlosti zvuku ve vzduchu Mária Čarná Dalibor Javůrek Filip Jareš
Měření rychlosti zvuku ve vzduchu Mária Čarná Dalibor Javůrek Filip Jareš Dejiny akustiky Od Pythagora do konca 16. st. rozvoj prevažne hudobnej akustiky v úzkej súvislosti s teóriou hudby Klasické obdobie
Vhodnosť lokálneho ohodnocovania grafu v sociálnej sieti obchodného registra SR Peter Vojtek Mária Bieliková Fakulta informatiky a informačných techno
Vhodnosť lokálneho ohodnocovania grafu v sociálnej sieti obchodného registra SR Peter Vojtek Mária Bieliková Fakulta informatiky a informačných technológií Slovenská technická univerzita v Bratislave Motivácia
Microsoft Word - Diskusia11.doc
Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta matematiky, fyziky a informatiky MATEMATIKA - 011 sem vlepiť čiarový kód uchádzača Test obsahuje 30 úloh. Na jeho vypracovanie máte 90 minút. Každá úloha spolu
1
ADM a logika 5. prednáška Sémantické tablá priesvitka 1 Úvodné poznámky Cieľom dnešnej prednášky je moderná sémantická metóda verifikácie skutočnosti, či formula je tautológia alebo kontradikcia: Metóda