Rekurentné rovnice. Denícia Nech f : R k R je funkcia k premenných. Potom rovnica x n = f(x n 1,..., x n k ) je rekurentná rovnica rádu k.

Veľkosť: px
Začať zobrazovať zo stránky:

Download "Rekurentné rovnice. Denícia Nech f : R k R je funkcia k premenných. Potom rovnica x n = f(x n 1,..., x n k ) je rekurentná rovnica rádu k."

Prepis

1 Rekurentné rovnice Denícia Nech f : R k R je funkcia k premenných. Potom rovnica x n = f(x n 1,..., x n k ) je rekurentná rovnica rádu k. Denícia Nech je daná rekurentná rovnica x n = f(x n 1,..., x n k ) rádu k. Rovnice x 0 = a 0, x 1 = a 1,..., x k 1 = a k 1 nazývame po iato né podmienky. Denícia Explicitné vyjadrenie rie²ení rekurentnej rovnice x n = f(x n 1,..., x n k ) je rovnica x n = g(n), kde g : N R je funkcia jednej premennej.

2 Príklad x n = rx n 1 (1 x n 1 ) je rekurentná rovnica prvého rádu (tzv. logistická rovnica) Aplikácie: generátory náhodných ísel, popula ná dynamika, teória chaosu

3 Príklad x n = x n 1 + c je rekurentná rovnica prvého rádu, ktorá je základom denície Mandelbrotovej mnoºiny:

4 Príklad (Leonardo z Pisy, "Liber Abaci") Pár králikov privádza raz za mesiac na svet dve mlá atá, samca a sami ku. Títo novonarodení králici priná²ajú al²ie prírastky uº dva mesiace po narodení. Ko ko párov králikov budeme ma za rok, ak sme na za iatku mali jeden pár králikov? Ozna me f n po et párov králikov na konci n-tého mesiaca. Potom platí f 0 = 1, f 1 =, f n = f n 1 + f n pre n. Rie²ením je teda f 1 = 377. Postupnos {f n } n=0 sa nazýva Fibonacciho postupnos. ƒísla F n sp ajuce F 0 = F 1 = 1, F n = F n 1 + F n pre n sa nazývajú Fibonacciho ísla.

5 Denícia Lineárna rekurentná rovnica rádu k s kon²tantnými koecientami je rekurentná rovnica tvaru x n = c 1 x n 1 + c x n + + c k x n k, c 1,..., c k R. Denícia Charakteristická rovnica lineárnej rekurentnej rovnice x n = c 1 x n 1 + c x n + + c k x n k rádu k s kon²tantnými koecientami je rovnica x k = c 1 x k 1 + c x k + + c k 1 x + c k.

6 Veta Nech x n = Ax n 1 + Bx n, n je lineárna rekurentná rovnica. rádu s kon²tantnými koecientami s po iato nými podmienkami x 0 = a 0, x 1 = a 1 a nech α, β C sú korene jej charakteristickej rovnice. 1 Ak α β, tak pre n je x n = k 1 α n + k β n, kde k 1 = a 1 a 0 β α β, k = a 0α a 1 sú rie²enia sústavy α β a 0 = k 1 + k a 1 = k 1 α + k β Ak α = β 0, tak pre n je x n = (k 1 + nk )α n, kde k 1 = a 0, k = a 1 a 0 α sú rie²enia sústavy α a 0 = k 1 a 1 = (k 1 + k )α Pre α = 0 je x n = 0 pre n.

7 Dôkaz: 1. as tvrdenia: úplnou matematickou indukciou pod a n. 1 : Nech n =. Poznamenajme, ºe platí α = Aα + B, β = Aβ + B. Potom x = Ax 1 + Bx 0 = Aa 1 + Ba 0 ; na druhej strane, k 1 α + k β = a 1 a 0 β α β α + a 0α a 1 α β β = a 1 a 0 β α β (Aα + B) + a 0α a 1 1 (Aβ + B) = α β α β (Aa 1α Aa 0 αβ + Ba 1 Ba 0 β + Aa 0 αβ Aa 1 β + Ba 0 α Ba 1 ) = 1 α β (Aa 1α Ba 0 β Aa 1 β + Ba 0 α) = 1 α β (α(aa 1 + Ba 0 ) β(aa 1 + Ba 0 )) = Aa 1 + Ba 0 = x.

8 : Nech tvrdenie platí pre v²etky k men²ie ako n, t.j. nech x k = k 1 α k + k β k. Potom x n = Ax n 1 + Bx n = A(k 1 α n 1 + k β n 1 ) + B(k 1 α n + k β n ) = k 1 α n (Aα + B) + k β n (Aβ + B) = k 1 α n α + k β n β = k 1 α n + k β n.

9 Dôkaz:. as tvrdenia: úplnou matematickou indukciou pod a n. 1 : Nech n = a α 0. Poznamenajme, ºe platí α = Aα + B, α = A, α = B. Potom x = Ax 1 + Bx 0 = Aa 1 + Ba 0 ; na druhej strane, ( (k 1 + k )α = a 0 + a ) 1 a 0 α α = a 0 α + a 1 α a 0 α = α a 1 α a 0 α = Aa 1 ( B)a 0 = Aa 1 + Ba 0. : Nech tvrdenie platí pre v²etky k men²ie ako n, t.j. nech x k = (k 1 + k k )α k. Potom x n = Ax n 1 + Bx n = A(k 1 + (n 1)k )α n 1 + B(k 1 + (n )k )α n = α n (Aα(k 1 + (n 1)k ) + B(k 1 + (n )k )) = α n (k 1 (Aα + B) + k (Aα(n 1) + B(n ))) = α n (k 1 α + k (n(aα + B) Aα B)) = α n (k 1 α + k (nα α α+α )) = α n (k 1 α +k (nα )) = (k 1 +nk )α n.

10 Príklad Odvo te explicitné vyjadrenie n-tého lena Fibonacciho postupnosti. Charakteristická rovnica pre rekurentnú rovnicu Fibonacciho postupnosti je x = x + 1; jej korene sú α = 1 + 5, β = 1 5. alej je 1 5 k 1 = = k = 1 k 1 = Teda ( 3 + ) ( 5 x n = 1 + ) n ( ) ( 1 ) n 5